Номер 255, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

255. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $\sin \frac{x}{4} - \cos \frac{x}{4} = \frac{1}{\sin \frac{x}{4}}$

Исходное уравнение:

$$ \sin\frac{x}{4} - \cos\frac{x}{4} = \frac{1}{\sin\frac{x}{4}} $$

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$$ \sin\frac{x}{4} \neq 0 $$

Это означает, что:

$$ \frac{x}{4} \neq \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$

$$ x \neq 4\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$

2. Решение уравнения

Умножим обе части уравнения на $ \sin\frac{x}{4} $, так как мы уже установили, что он не равен нулю в ОДЗ:

$$ \sin\frac{x}{4} \left( \sin\frac{x}{4} - \cos\frac{x}{4} \right) = 1 $$

$$ \sin^2\frac{x}{4} - \sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4} = 1 $$

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ и заменим 1 в правой части уравнения:

$$ \sin^2\frac{x}{4} - \sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4} = \sin^2\frac{x}{4} + \cos^2\frac{x}{4} $$

Вычтем $ \sin^2\frac{x}{4} $ из обеих частей:

$$ -\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4} = \cos^2\frac{x}{4} $$

Перенесем все члены в одну сторону:

$$ \cos^2\frac{x}{4} + \sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4} = 0 $$

Вынесем общий множитель $ \cos\frac{x}{4} $ за скобки:

$$ \cos\frac{x}{4} \left( \cos\frac{x}{4} + \sin\frac{x}{4} \right) = 0 $$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $ \cos\frac{x}{4} = 0 $

$$ \frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

$$ x = 2\pi + 4\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как при $ \cos\frac{x}{4} = 0 $, значение $ \sin\frac{x}{4} $ равно 1 или -1, то есть не равно нулю.

Случай 2: $ \cos\frac{x}{4} + \sin\frac{x}{4} = 0 $

$$ \sin\frac{x}{4} = -\cos\frac{x}{4} $$

Разделим обе части на $ \cos\frac{x}{4} $ (это возможно, так как если $ \cos\frac{x}{4} = 0 $, то и $ \sin\frac{x}{4} $ должен быть равен нулю, что невозможно одновременно).

$$ \tan\frac{x}{4} = -1 $$

$$ \frac{x}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $$

$$ x = -\pi + 4\pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $$

Эти корни также удовлетворяют ОДЗ, так как при $ \tan\frac{x}{4} = -1 $, $ \sin\frac{x}{4} \neq 0 $.

3. Поиск наибольшего отрицательного корня

Мы получили две серии корней:

1) $ x_n = 2\pi + 4\pi n $

2) $ x_m = -\pi + 4\pi m $

Найдем наибольшие отрицательные корни для каждой серии, подставляя целые значения $n$ и $m$.

Для первой серии $ x_n = 2\pi + 4\pi n $: чтобы корень был отрицательным, необходимо, чтобы $ 2\pi + 4\pi n < 0 $, то есть $ 4\pi n < -2\pi $, или $ n < -1/2 $. Наибольшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию, это $ n = -1 $.

$$ x_{-1} = 2\pi + 4\pi(-1) = 2\pi - 4\pi = -2\pi $$

Для второй серии $ x_m = -\pi + 4\pi m $: чтобы корень был отрицательным, необходимо, чтобы $ -\pi + 4\pi m < 0 $, то есть $ 4\pi m < \pi $, или $ m < 1/4 $. Наибольшее целое значение $m$, удовлетворяющее этому условию, это $ m = 0 $.

$$ x_0 = -\pi + 4\pi(0) = -\pi $$

Сравним полученные наибольшие отрицательные корни из обеих серий: $ -2\pi $ и $ -\pi $.

Так как $ -\pi > -2\pi $, наибольшим отрицательным корнем уравнения является $ -\pi $.

Ответ: $ -\pi $