Номер 259, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

259. Решите уравнение:

1) $ \sin 5x + 2\sin^2 4x = 1; $

2) $ 1 - \cos 4x = \sqrt{2} \sin 2x; $

3) $ \sin^2 2x + \sin^2 3x = 1; $

4) $ \cos^2 x + \cos^2 5x = \cos^2 2x + \cos^2 4x. $

1) Исходное уравнение: $ \sin(5x) + 2\sin^2(4x) = 1 $.

Воспользуемся формулой понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha) $, откуда $ 2\sin^2(\alpha) = 1 - \cos(2\alpha) $.
Применим эту формулу для $ \alpha = 4x $. Получим $ 2\sin^2(4x) = 1 - \cos(8x) $.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$ \sin(5x) + 1 - \cos(8x) = 1 $
$ \sin(5x) - \cos(8x) = 0 $
$ \sin(5x) = \cos(8x) $.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой приведения: $ \cos(\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
$ \sin(5x) = \sin(\frac{\pi}{2} - 8x) $.

Уравнение вида $ \sin(a) = \sin(b) $ имеет две серии решений: $ a = b + 2\pi n $ и $ a = \pi - b + 2\pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.
1. Первая серия решений:
$ 5x = \frac{\pi}{2} - 8x + 2\pi n $
$ 13x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{26} + \frac{2\pi n}{13}, n \in \mathbb{Z} $.

2. Вторая серия решений:
$ 5x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 8x) + 2\pi k $
$ 5x = \pi - \frac{\pi}{2} + 8x + 2\pi k $
$ 5x = \frac{\pi}{2} + 8x + 2\pi k $
$ -3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $
$ x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{26} + \frac{2\pi n}{13}, x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi k}{3}, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z} $.

2) Исходное уравнение: $ 1 - \cos(4x) = \sqrt{2}\sin(2x) $.

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $ 1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha) $.
Для $ \alpha = 2x $ получаем $ 1 - \cos(4x) = 2\sin^2(2x) $.
Подставим в уравнение:
$ 2\sin^2(2x) = \sqrt{2}\sin(2x) $
$ 2\sin^2(2x) - \sqrt{2}\sin(2x) = 0 $.

Вынесем общий множитель $ \sin(2x) $ за скобки:
$ \sin(2x)(2\sin(2x) - \sqrt{2}) = 0 $.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:
1. $ \sin(2x) = 0 $
$ 2x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

2. $ 2\sin(2x) - \sqrt{2} = 0 $
$ 2\sin(2x) = \sqrt{2} $
$ \sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ 2x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $
$ 2x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k $
$ x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z} $.

3) Исходное уравнение: $ \sin^2(2x) + \sin^2(3x) = 1 $.

Воспользуемся формулами понижения степени: $ \sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $.
Применим их к обоим слагаемым:
$ \frac{1 - \cos(4x)}{2} + \frac{1 - \cos(6x)}{2} = 1 $.

Умножим обе части уравнения на 2:
$ 1 - \cos(4x) + 1 - \cos(6x) = 2 $
$ 2 - (\cos(4x) + \cos(6x)) = 2 $
$ \cos(4x) + \cos(6x) = 0 $.

Применим формулу суммы косинусов: $ \cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) $.
$ 2\cos(\frac{4x+6x}{2})\cos(\frac{6x-4x}{2}) = 0 $
$ 2\cos(5x)\cos(x) = 0 $
$ \cos(5x)\cos(x) = 0 $.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1. $ \cos(5x) = 0 $
$ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \cos(x) = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Если $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, то это соответствует значениям $ n = 2 + 5k $ в первой серии: $ \frac{\pi}{10} + \frac{\pi(2+5k)}{5} = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} + \pi k = \frac{5\pi}{10} + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi k $. Таким образом, достаточно указать только первую, более общую, серию решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

4) Исходное уравнение: $ \cos^2(x) + \cos^2(5x) = \cos^2(2x) + \cos^2(4x) $.

Используем формулу понижения степени $ \cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $ для всех членов уравнения.
$ \frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(10x)}{2} = \frac{1 + \cos(4x)}{2} + \frac{1 + \cos(8x)}{2} $.

Умножим обе части на 2:
$ 1 + \cos(2x) + 1 + \cos(10x) = 1 + \cos(4x) + 1 + \cos(8x) $
$ \cos(2x) + \cos(10x) = \cos(4x) + \cos(8x) $.

Применим формулу суммы косинусов $ \cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) $ к обеим частям уравнения.
Левая часть: $ \cos(10x) + \cos(2x) = 2\cos(\frac{12x}{2})\cos(\frac{8x}{2}) = 2\cos(6x)\cos(4x) $.
Правая часть: $ \cos(8x) + \cos(4x) = 2\cos(\frac{12x}{2})\cos(\frac{4x}{2}) = 2\cos(6x)\cos(2x) $.

Получаем уравнение:
$ 2\cos(6x)\cos(4x) = 2\cos(6x)\cos(2x) $
$ \cos(6x)\cos(4x) - \cos(6x)\cos(2x) = 0 $
$ \cos(6x)(\cos(4x) - \cos(2x)) = 0 $.

Это уравнение распадается на два случая:
1. $ \cos(6x) = 0 $
$ 6x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \cos(4x) - \cos(2x) = 0 \implies \cos(4x) = \cos(2x) $.
Это равенство выполняется, если $ 4x = \pm 2x + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
а) $ 4x = 2x + 2\pi k \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
б) $ 4x = -2x + 2\pi m \implies 6x = 2\pi m \implies x = \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z} $.
Решения $ x = \pi k $ являются подмножеством решений $ x = \frac{\pi m}{3} $ (при $ m = 3k $). Следовательно, из этого случая получаем одну серию решений: $ x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, x = \frac{\pi k}{3}, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z} $.