Номер 257, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

257. Решите уравнение:

1) $ \cos 2x + \cos 6x = 0; $

2) $ \sin 3x + \sin 9x = 0; $

3) $ \cos 5x - \cos 2x = 0; $

4) $ \sin 2x - \sin 7x = 0; $

5) $ \cos x + \cos 5x = 2 \cos 3x; $

6) $ \operatorname{tg}^3 x + \operatorname{tg}^2 x - 9 \operatorname{tg} x - 9 = 0; $

7) $ 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos x + 2 \sin x - \sqrt{3} = 0; $

8) $ (1 - \sin x) \operatorname{ctg} x + \sin x - 1 = 0. $

1) Исходное уравнение: $cos(2x) + cos(6x) = 0$. Для решения используем формулу суммы косинусов: $cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$. Применим эту формулу к левой части уравнения: $2cos\frac{2x+6x}{2}cos\frac{6x-2x}{2} = 0$ $2cos(4x)cos(2x) = 0$ Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая: 1. $cos(4x) = 0$. Решением этого уравнения является $4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. $cos(2x) = 0$. Решением этого уравнения является $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Оба набора решений являются ответом.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin(3x) + sin(9x) = 0$. Используем формулу суммы синусов: $sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$. $2sin\frac{3x+9x}{2}cos\frac{9x-3x}{2} = 0$ $2sin(6x)cos(3x) = 0$ Это уравнение распадается на два: 1. $sin(6x) = 0$. Тогда $6x = \pi k$, откуда $x = \frac{\pi k}{6}$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. $cos(3x) = 0$. Тогда $3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Заметим, что вторая серия решений $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{6} = \frac{\pi(1+2n)}{6}$ является подмножеством первой серии $x = \frac{\pi k}{6}$ (при нечетных значениях $k$). Следовательно, достаточно указать только первую серию решений.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $cos(5x) - cos(2x) = 0$. Перепишем уравнение в виде $cos(5x) = cos(2x)$. Равенство косинусов выполняется, если их аргументы равны или противоположны с точностью до периода $2\pi$. 1. $5x = 2x + 2\pi k \implies 3x = 2\pi k \implies x = \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. $5x = -2x + 2\pi n \implies 7x = 2\pi n \implies x = \frac{2\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $sin(2x) - sin(7x) = 0$. Перепишем уравнение в виде $sin(2x) = sin(7x)$. Равенство синусов выполняется в двух случаях: 1. Аргументы равны с точностью до периода $2\pi$: $2x = 7x + 2\pi k \implies -5x = 2\pi k \implies x = -\frac{2\pi k}{5}$. Так как $k$ любое целое число, это эквивалентно $x = \frac{2\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. Сумма аргументов равна $\pi$ с точностью до периода $2\pi$: $2x + 7x = \pi + 2\pi n \implies 9x = \pi + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{9}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{9}, n \in \mathbb{Z}$.

5) Исходное уравнение: $cos(x) + cos(5x) = 2cos(3x)$. Применим формулу суммы косинусов к левой части: $2cos\frac{x+5x}{2}cos\frac{5x-x}{2} = 2cos(3x)$ $2cos(3x)cos(2x) = 2cos(3x)$ Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель: $2cos(3x)cos(2x) - 2cos(3x) = 0$ $2cos(3x)(cos(2x) - 1) = 0$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: 1. $cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. $cos(2x) - 1 = 0 \implies cos(2x) = 1 \implies 2x = 2\pi n \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) Исходное уравнение: $tg^3x + tg^2x - 9tgx - 9 = 0$. Введем замену $t = tgx$. Уравнение примет вид: $t^3 + t^2 - 9t - 9 = 0$ Сгруппируем слагаемые для разложения на множители: $t^2(t+1) - 9(t+1) = 0$ $(t^2 - 9)(t+1) = 0$ $(t-3)(t+3)(t+1) = 0$ Отсюда получаем три возможных значения для $t$: $t_1 = 3$, $t_2 = -3$, $t_3 = -1$. Вернемся к переменной $x$: 1. $tgx = 3 \implies x = arctan(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. $tgx = -3 \implies x = arctan(-3) + \pi n = -arctan(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. 3. $tgx = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

7) Исходное уравнение: $2sinxcosx - \sqrt{3}cosx + 2sinx - \sqrt{3} = 0$. Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки: $cosx(2sinx - \sqrt{3}) + 1(2sinx - \sqrt{3}) = 0$ $(cosx + 1)(2sinx - \sqrt{3}) = 0$ Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: 1. $cosx + 1 = 0 \implies cosx = -1 \implies x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. $2sinx - \sqrt{3} = 0 \implies sinx = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Решениями этого уравнения являются две серии: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$. Это можно записать одной формулой: $x = (-1)^j \frac{\pi}{3} + \pi j, j \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

8) Исходное уравнение: $(1 - sinx)ctgx + sinx - 1 = 0$. Область допустимых значений (ОДЗ): $ctgx$ определен, если $sinx \neq 0$, то есть $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Преобразуем уравнение: $(1 - sinx)ctgx - (1 - sinx) = 0$ Вынесем общий множитель $(1 - sinx)$ за скобки: $(1 - sinx)(ctgx - 1) = 0$ Получаем два случая: 1. $1 - sinx = 0 \implies sinx = 1$. Решением является $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 1 \neq 0$. 2. $ctgx - 1 = 0 \implies ctgx = 1$. Решением является $x = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Это решение также удовлетворяет ОДЗ, так как $sin(\frac{\pi}{4} + \pi m) = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.