Номер 251, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

251. Решите уравнение:

1) $ \cos 3x - \sin 3x = 0; $

2) $ \sin 5x - \sqrt{3} \cos 5x = 0; $

3) $ 4\sin \frac{x}{3} - 7\cos \frac{x}{3} = 0; $

4) $ 3\sin^2 \frac{x}{5} - 7\sin \frac{x}{5}\cos \frac{x}{5} + 4\cos^2 \frac{x}{5} = 0. $

1) $cos3x - sin3x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем $sin3x$ в правую часть уравнения:

$cos3x = sin3x$

Разделим обе части уравнения на $cos3x$. Это действие является корректным, так как если предположить, что $cos3x = 0$, то из уравнения следует, что и $sin3x = 0$. Однако, синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно равняться нулю, поскольку это противоречит основному тригонометрическому тождеству $sin^2(3x) + cos^2(3x) = 1$. Следовательно, $cos3x \neq 0$.

$\frac{sin3x}{cos3x} = 1$

Используя определение тангенса, получаем:

$tan3x = 1$

Решаем это простейшее тригонометрическое уравнение:

$3x = arctan(1) + \pi n$, где $n \in Z$

$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$

Теперь находим $x$, разделив обе части на 3:

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

2) $sin5x - \sqrt{3}cos5x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем член с косинусом в правую часть:

$sin5x = \sqrt{3}cos5x$

Разделим обе части на $cos5x$. Как и в предыдущем случае, $cos5x \neq 0$, так как иначе и $sin5x = 0$, что невозможно.

$\frac{sin5x}{cos5x} = \sqrt{3}$

$tan5x = \sqrt{3}$

Находим общее решение для $5x$:

$5x = arctan(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in Z$

$5x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in Z$

Выражаем $x$:

$x = \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in Z$.

3) $4sin\frac{x}{3} - 7cos\frac{x}{3} = 0$

Снова имеем однородное тригонометрическое уравнение первой степени.

$4sin\frac{x}{3} = 7cos\frac{x}{3}$

Делим обе части на $cos\frac{x}{3}$ (так как $cos\frac{x}{3} \neq 0$):

$4\frac{sin\frac{x}{3}}{cos\frac{x}{3}} = 7$

$4tan\frac{x}{3} = 7$

$tan\frac{x}{3} = \frac{7}{4}$

Находим общее решение:

$\frac{x}{3} = arctan(\frac{7}{4}) + \pi n$, где $n \in Z$

Умножаем обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = 3arctan(\frac{7}{4}) + 3\pi n$, где $n \in Z$

Ответ: $x = 3arctan(\frac{7}{4}) + 3\pi n$, где $n \in Z$.

4) $3sin^2\frac{x}{5} - 7sin\frac{x}{5}cos\frac{x}{5} + 4cos^2\frac{x}{5} = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим все члены уравнения на $cos^2\frac{x}{5}$. Мы можем это сделать, так как $cos\frac{x}{5} \neq 0$. Если бы $cos\frac{x}{5} = 0$, то из уравнения следовало бы, что $3sin^2\frac{x}{5} = 0$, то есть $sin\frac{x}{5} = 0$, что невозможно.

$3\frac{sin^2\frac{x}{5}}{cos^2\frac{x}{5}} - 7\frac{sin\frac{x}{5}cos\frac{x}{5}}{cos^2\frac{x}{5}} + 4\frac{cos^2\frac{x}{5}}{cos^2\frac{x}{5}} = 0$

Упрощаем, используя $tan\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$:

$3tan^2\frac{x}{5} - 7tan\frac{x}{5} + 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $tan\frac{x}{5}$. Сделаем замену: пусть $t = tan\frac{x}{5}$.

$3t^2 - 7t + 4 = 0$

Находим дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.

Находим корни для $t$:

$t_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Теперь возвращаемся к исходной переменной. У нас есть два случая:

Случай 1:

$tan\frac{x}{5} = 1$

$\frac{x}{5} = arctan(1) + \pi n$, где $n \in Z$

$\frac{x}{5} = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$

$x = \frac{5\pi}{4} + 5\pi n$, где $n \in Z$

Случай 2:

$tan\frac{x}{5} = \frac{4}{3}$

$\frac{x}{5} = arctan(\frac{4}{3}) + \pi k$, где $k \in Z$

$x = 5arctan(\frac{4}{3}) + 5\pi k$, где $k \in Z$

Ответ: $x = \frac{5\pi}{4} + 5\pi n, \: x = 5arctan(\frac{4}{3}) + 5\pi k$, где $n, k \in Z$.