Номер 244, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

244. Вычислите:

1) $ \sin(\arcsin(-0,2)) $

2) $ \cos\left(\arccos\frac{\pi}{5}\right) $

3) $ \cot(\operatorname{arcctg}\sqrt{3}) $

1) Вычислим значение выражения $ \sin(\arcsin(-0,2)) $.

По определению арксинуса, $ \arcsin(a) $ — это угол $ \alpha $, принадлежащий отрезку $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $ a $. Из этого определения следует тождество $ \sin(\arcsin(a)) = a $ для всех $ a $, удовлетворяющих условию $ |a| \le 1 $.

В нашем случае $ a = -0,2 $. Проверим условие: $ |-0,2| = 0,2 $, что меньше или равно 1. Условие выполняется.

Следовательно, применяя тождество, получаем:

$ \sin(\arcsin(-0,2)) = -0,2 $.

Ответ: $ -0,2 $.

2) Вычислим значение выражения $ \cos(\arccos\frac{\pi}{5}) $.

По определению арккосинуса, $ \arccos(a) $ — это угол $ \alpha $, принадлежащий отрезку $ [0; \pi] $, косинус которого равен $ a $. Из этого определения следует тождество $ \cos(\arccos(a)) = a $ для всех $ a $, удовлетворяющих условию $ |a| \le 1 $.

В нашем случае $ a = \frac{\pi}{5} $. Проверим, выполняется ли условие $ |a| \le 1 $. Используем приближенное значение $ \pi \approx 3,14159 $:

$ a = \frac{\pi}{5} \approx \frac{3,14159}{5} \approx 0,6283 $.

Так как $ -1 \le 0,6283 \le 1 $, условие выполняется.

Следовательно, применяя тождество, получаем:

$ \cos(\arccos\frac{\pi}{5}) = \frac{\pi}{5} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{5} $.

3) Вычислим значение выражения $ \text{ctg}(\text{arcctg}\sqrt{3}) $.

По определению арккотангенса, $ \text{arcctg}(a) $ — это угол $ \alpha $, принадлежащий интервалу $ (0; \pi) $, котангенс которого равен $ a $. Из этого определения следует тождество $ \text{ctg}(\text{arcctg}(a)) = a $ для любого действительного числа $ a $.

В нашем случае $ a = \sqrt{3} $. Это действительное число, поэтому тождество применимо.

Следовательно:

$ \text{ctg}(\text{arcctg}\sqrt{3}) = \sqrt{3} $.

Можно также решить, найдя значение арккотангенса. $ \text{arcctg}(\sqrt{3}) $ — это угол из интервала $ (0, \pi) $, котангенс которого равен $ \sqrt{3} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{6} $. Тогда $ \text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} $.

Ответ: $ \sqrt{3} $.