Номер 240, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

240. Сколько решений уравнения $tg3x = 1$ принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$?

Для того чтобы найти количество решений уравнения на заданном промежутке, необходимо сначала найти общее решение уравнения, а затем отобрать те корни, которые попадают в указанный интервал.

1. Находим общее решение уравнения

Дано уравнение: $\tg(3x) = 1$.

Общее решение для уравнения вида $\tg(A) = a$ имеет вид $A = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $A = 3x$ и $a = 1$.
$3x = \operatorname{arctg}(1) + \pi k$

Так как $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$3x = \frac{\pi}{4} + \pi k$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Отбираем решения, принадлежащие промежутку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$

Мы должны найти все целые значения $k$, при которых найденные решения для $x$ удовлетворяют двойному неравенству:

$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$

Подставим выражение для $x$:
$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} \le \frac{\pi}{2}$

Для решения этого неравенства относительно $k$, сначала вычтем $\frac{\pi}{12}$ из всех его частей:
$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} \le \frac{\pi k}{3} \le \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}$

Приведем дроби в левой и правой частях к общему знаменателю 12:
$-\frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12} \le \frac{\pi k}{3} \le \frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12}$
$-\frac{7\pi}{12} \le \frac{\pi k}{3} \le \frac{5\pi}{12}$

Теперь умножим все части неравенства на $\frac{3}{\pi}$ (так как $\frac{3}{\pi} > 0$, знаки неравенства не меняются):
$-\frac{7\pi}{12} \cdot \frac{3}{\pi} \le k \le \frac{5\pi}{12} \cdot \frac{3}{\pi}$
$-\frac{7 \cdot 3}{12} \le k \le \frac{5 \cdot 3}{12}$
$-\frac{21}{12} \le k \le \frac{15}{12}$

Сократим дроби:
$-\frac{7}{4} \le k \le \frac{5}{4}$

Представим в виде десятичных дробей для наглядности:
$-1.75 \le k \le 1.25$

Поскольку $k$ должно быть целым числом, то в этот промежуток попадают следующие значения: $k = -1$, $k = 0$, $k = 1$.

Всего мы получили 3 целых значения для $k$. Каждое из них дает уникальное решение уравнения, принадлежащее заданному промежутку. Таким образом, количество решений равно 3.

Ответ: 3