Номер 233, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

233. Сколько корней уравнения $\sin \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют неравенству $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$?

Для решения задачи сначала решим тригонометрическое уравнение, а затем отберем корни, удовлетворяющие заданному неравенству.

Исходное уравнение:$ \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Введем замену переменной. Пусть $ t = 3x - \frac{\pi}{4} $. Тогда уравнение примет вид:$ \sin(t) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Решения этого уравнения можно записать в виде двух серий:$ t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ t = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Теперь найдем, в каком интервале должна находиться переменная $t$, исходя из неравенства для $x$:$ -\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2} $

Умножим все части неравенства на 3:$ -\frac{3\pi}{4} < 3x < \frac{3\pi}{2} $

Вычтем $ \frac{\pi}{4} $ из всех частей неравенства:$ -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} < 3x - \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} $$ -\frac{4\pi}{4} < t < \frac{6\pi}{4} - \frac{\pi}{4} $$ -\pi < t < \frac{5\pi}{4} $

Теперь найдем, какие из решений для $t$ попадают в интервал $ \left(-\pi, \frac{5\pi}{4}\right) $.

1. Рассмотрим первую серию решений $ t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $. Подставим различные целые значения $k$:

• При $ k = 0 $: $ t = \frac{\pi}{4} $. Это значение удовлетворяет неравенству $ -\pi < \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} $.
• При $ k = 1 $: $ t = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} $. Это значение не входит в интервал, так как $ \frac{9\pi}{4} > \frac{5\pi}{4} $.
• При $ k = -1 $: $ t = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} $. Это значение не входит в интервал, так как $ -\frac{7\pi}{4} < -\pi $.

Из этой серии подходит только один корень $ t = \frac{\pi}{4} $.

2. Рассмотрим вторую серию решений $ t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $. Подставим различные целые значения $k$:

• При $ k = 0 $: $ t = \frac{3\pi}{4} $. Это значение удовлетворяет неравенству $ -\pi < \frac{3\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} $.
• При $ k = 1 $: $ t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} $. Это значение не входит в интервал.
• При $ k = -1 $: $ t = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} $. Это значение не входит в интервал.

Из этой серии подходит только один корень $ t = \frac{3\pi}{4} $.

Таким образом, в заданном интервале для $t$ есть два решения: $ t_1 = \frac{\pi}{4} $ и $ t_2 = \frac{3\pi}{4} $. Каждому значению $t$ соответствует единственное значение $x$, так как зависимость $ t = 3x - \frac{\pi}{4} $ линейная. Следовательно, исходное уравнение имеет ровно два корня, удовлетворяющих заданному неравенству.

Можно найти и сами корни $x$:

• $ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} $
• $ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow 3x = \pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} $

Оба корня $ \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{\pi}{3} $ принадлежат интервалу $ \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) $.

Ответ: 2.