Номер 226, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

226. Сколько корней уравнения $\cos \left( 4x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ принадлежат промежутку $\left[ -\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3} \right]$?

Для решения задачи сначала найдём общее решение тригонометрического уравнения, а затем отберём те корни, которые попадают в заданный промежуток.

Дано уравнение: $\cos(4x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для уравнения вида $\cos(t) = a$ записывается как $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае аргумент $t = 4x - \frac{\pi}{6}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$4x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Рассмотрим два случая для нахождения двух серий корней.

Первая серия корней:

$4x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$x_1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Вторая серия корней:

$4x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = 0 + 2\pi k$

$x_2 = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Теперь необходимо отобрать корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]$.

Отбор корней для первой серии $x_1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$:

Решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{12} \le \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} \le \frac{\pi}{3}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{12} \le \frac{1}{12} + \frac{k}{2} \le \frac{1}{3}$

Вычтем $\frac{1}{12}$ из всех частей:

$-\frac{1}{12} - \frac{1}{12} \le \frac{k}{2} \le \frac{4}{12} - \frac{1}{12}$

$-\frac{2}{12} \le \frac{k}{2} \le \frac{3}{12}$

$-\frac{1}{6} \le \frac{k}{2} \le \frac{1}{4}$

Умножим все части на 2:

$-\frac{2}{6} \le k \le \frac{2}{4} \implies -\frac{1}{3} \le k \le \frac{1}{2}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k=0$. При $k=0$ получаем корень $x = \frac{\pi}{12}$.

Отбор корней для второй серии $x_2 = \frac{\pi k}{2}$:

Решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{12} \le \frac{\pi k}{2} \le \frac{\pi}{3}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{12} \le \frac{k}{2} \le \frac{1}{3}$

Умножим все части на 2:

$-\frac{2}{12} \le k \le \frac{2}{3} \implies -\frac{1}{6} \le k \le \frac{2}{3}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k=0$. При $k=0$ получаем корень $x = 0$.

Таким образом, на заданном промежутке $[-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]$ лежат два различных корня: $x = \frac{\pi}{12}$ и $x = 0$.

Ответ: 2.