Номер 223, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

223. Решите уравнение:

1) $ \cos 6x = 1; $

2) $ \cos 4x = - \frac{\sqrt{3}}{2}; $

3) $ \cos \frac{9x}{5} = 0; $

4) $ \cos \left( 7x - \frac{\pi}{4} \right) = -1; $

5) $ \cos (2 - 5x) = \frac{1}{2}; $

6) $ \cos \frac{3\pi x}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}; $

7) $ \cos \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = - \frac{\pi}{3}; $

8) $ \cos (6x - 5) = \frac{\pi}{8}; $

9) $ 2\cos \left( 7x - \frac{\pi}{8} \right) + \sqrt{2} = 0; $

10) $ 3\cos \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) - 1 = 0. $

1) Дано уравнение $cos(6x) = 1$. Это частный случай решения тригонометрического уравнения, когда косинус равен 1. Аргумент косинуса должен быть равен $2\pi k$, где $k$ – любое целое число.
$6x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти $x$:
$x = \frac{2\pi k}{6}$
$x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $cos(4x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Общее решение для уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $t = 4x$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставляем в общую формулу:
$4x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части на 4:
$x = \pm \frac{5\pi}{24} + \frac{2\pi k}{4}$
$x = \pm \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\cos(\frac{9x}{5}) = 0$. Это частный случай, когда косинус равен 0. Аргумент косинуса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число.
$\frac{9x}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Умножим обе части на 5/9, чтобы найти $x$:
$x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) \cdot \frac{5}{9}$
$x = \frac{5\pi}{18} + \frac{5\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{5\pi}{18} + \frac{5\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $\cos(7x - \frac{\pi}{4}) = -1$. Это частный случай, когда косинус равен -1. Аргумент косинуса должен быть равен $\pi + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число.
$7x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:
$7x = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$7x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$
Разделим обе части на 7:
$x = \frac{5\pi}{28} + \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{5\pi}{28} + \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.

5) Дано уравнение $\cos(2 - 5x) = \frac{1}{2}$. Используем свойство четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. $\cos(2 - 5x) = \cos(-(5x - 2)) = \cos(5x - 2)$. Уравнение принимает вид: $\cos(5x - 2) = \frac{1}{2}$.
Применим общую формулу $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$. Здесь $t = 5x - 2$ и $a = \frac{1}{2}$. $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
$5x - 2 = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Перенесем -2 в правую часть:
$5x = 2 \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
Разделим обе части на 5:
$x = \frac{2}{5} \pm \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{2}{5} \pm \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

6) Дано уравнение $\cos(\frac{3\pi x}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Применим общую формулу $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$. Здесь $t = \frac{3\pi x}{4}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{3\pi x}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Умножим обе части на $\frac{4}{3\pi}$:
$x = (\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k) \cdot \frac{4}{3\pi}$
$x = \pm \frac{4\pi}{18\pi} + \frac{8\pi k}{3\pi}$
$x = \pm \frac{2}{9} + \frac{8k}{3}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \frac{2}{9} + \frac{8k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

7) Дано уравнение $\cos(2x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{3}$. Область значений функции косинус – это отрезок $[-1, 1]$. Правая часть уравнения равна $-\frac{\pi}{3}$. Оценим это значение:
$\pi \approx 3.14159$, поэтому $-\frac{\pi}{3} \approx -1.047$.
Так как $-\frac{\pi}{3} < -1$, это значение не входит в область значений косинуса. Следовательно, уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: Решений нет.

8) Дано уравнение $\cos(6x - 5) = \frac{\pi}{8}$. Проверим, имеет ли уравнение решение. Правая часть равна $\frac{\pi}{8}$.
$\pi \approx 3.14159$, поэтому $\frac{\pi}{8} \approx 0.3927$.
Так как $-1 \le \frac{\pi}{8} \le 1$, уравнение имеет решения. Применим общую формулу $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$.
$6x - 5 = \pm \arccos(\frac{\pi}{8}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Перенесем -5 в правую часть:
$6x = 5 \pm \arccos(\frac{\pi}{8}) + 2\pi k$
Разделим обе части на 6:
$x = \frac{5}{6} \pm \frac{1}{6}\arccos(\frac{\pi}{8}) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{5}{6} \pm \frac{1}{6}\arccos(\frac{\pi}{8}) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

9) Дано уравнение $2\cos(7x - \frac{\pi}{8}) + \sqrt{2} = 0$. Сначала выразим косинус:
$2\cos(7x - \frac{\pi}{8}) = -\sqrt{2}$
$\cos(7x - \frac{\pi}{8}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Применим общую формулу $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$. Здесь $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$.
$7x - \frac{\pi}{8} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$7x = \frac{\pi}{8} \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
$7x = \frac{\pi}{8} \pm \frac{6\pi}{8} + 2\pi k$
Разобьем на два случая:
1) $7x = \frac{\pi + 6\pi}{8} + 2\pi k = \frac{7\pi}{8} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi k}{7}$
2) $7x = \frac{\pi - 6\pi}{8} + 2\pi k = -\frac{5\pi}{8} + 2\pi k \implies x = -\frac{5\pi}{56} + \frac{2\pi k}{7}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi k}{7}, x = -\frac{5\pi}{56} + \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.

10) Дано уравнение $3\cos(2x - \frac{\pi}{3}) - 1 = 0$. Сначала выразим косинус:
$3\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 1$
$\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{3}$
Так как $-1 \le \frac{1}{3} \le 1$, уравнение имеет решения. Применим общую формулу $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$.
$2x - \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = \frac{\pi}{3} \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k$
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{1}{2}\arccos(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{1}{2}\arccos(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.