Номер 225, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

225. Найдите наименьший положительный корень уравнения $\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Чтобы найти наименьший положительный корень уравнения, сначала решим его в общем виде.

Исходное уравнение: $ \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Общее решение уравнения $ \cos(t) = a $ записывается как $ t = \pm\arccos(a) + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

В данном случае $ t = x - \frac{\pi}{4} $ и $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Найдём значение арккосинуса: $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

Теперь подставим это значение в общую формулу решения: $ x - \frac{\pi}{4} = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k $

Рассмотрим два случая для нахождения всех корней уравнения.

1. Cо знаком "+": $ x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $

Выразим $ x $, перенеся $ \frac{\pi}{4} $ в правую часть: $ x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k $

Приведём дроби к общему знаменателю 12: $ x = \frac{10\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2\pi k $ $ x = \frac{13\pi}{12} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

2. Cо знаком "-": $ x - \frac{\pi}{4} = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k $

Выразим $ x $: $ x = -\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k $

Приведём дроби к общему знаменателю 12: $ x = -\frac{10\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2\pi k $ $ x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Теперь найдём наименьший положительный корень, перебирая значения $ k $ для каждой серии корней.

Для первой серии $ x = \frac{13\pi}{12} + 2\pi k $:

• при $ k = 0 $, $ x = \frac{13\pi}{12} $. Это положительное число.
• при $ k = -1 $, $ x = \frac{13\pi}{12} - 2\pi = \frac{13\pi - 24\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12} $. Это отрицательное число.

Наименьший положительный корень в этой серии — $ \frac{13\pi}{12} $.

Для второй серии $ x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k $:

• при $ k = 0 $, $ x = -\frac{7\pi}{12} $. Это отрицательное число.
• при $ k = 1 $, $ x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi = \frac{-7\pi + 24\pi}{12} = \frac{17\pi}{12} $. Это положительное число.

Наименьший положительный корень в этой серии — $ \frac{17\pi}{12} $.

Сравним найденные наименьшие положительные корни из двух серий: $ \frac{13\pi}{12} $ и $ \frac{17\pi}{12} $.

$ \frac{13\pi}{12} < \frac{17\pi}{12} $

Следовательно, наименьший положительный корень уравнения — это $ \frac{13\pi}{12} $.

Ответ: $ \frac{13\pi}{12} $