Номер 224, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

224. Решите уравнение:

1) $ \sin^2 3x = \frac{3}{4} $

2) $ \cos^2 \frac{x}{7} = \frac{1}{2} $

3) $ 8\cos^2 x - 3 = 0 $

1) Исходное уравнение: $sin^2 3x = \frac{3}{4}$.
Для решения данного типа уравнений удобно использовать формулу понижения степени: $sin^2 \alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$.
Применим эту формулу к нашему уравнению, где $\alpha = 3x$:
$\frac{1 - cos(2 \cdot 3x)}{2} = \frac{3}{4}$
$\frac{1 - cos(6x)}{2} = \frac{3}{4}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$1 - cos(6x) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Выразим $cos(6x)$:
$cos(6x) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
Теперь мы имеем простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$.
В нашем случае $t = 6x$ и $a = -\frac{1}{2}$.
$6x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$
Поскольку $arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:
$6x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 6:
$x = \pm \frac{2\pi}{3 \cdot 6} + \frac{2\pi n}{6}$
$x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in Z$.

2) Исходное уравнение: $cos^2 \frac{x}{7} = \frac{1}{2}$.
Используем формулу понижения степени для косинуса: $cos^2 \alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$.
В данном уравнении $\alpha = \frac{x}{7}$. Подставляем в формулу:
$\frac{1 + cos(2 \cdot \frac{x}{7})}{2} = \frac{1}{2}$
$\frac{1 + cos(\frac{2x}{7})}{2} = \frac{1}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$1 + cos(\frac{2x}{7}) = 1$
$cos(\frac{2x}{7}) = 0$
Мы получили частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение для $cos(t) = 0$ имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Применительно к нашему случаю, где $t = \frac{2x}{7}$:
$\frac{2x}{7} = \frac{\pi}{2} + \pi n$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{7}{2}$:
$x = \frac{7}{2} \cdot (\frac{\pi}{2} + \pi n)$
$x = \frac{7\pi}{4} + \frac{7\pi n}{2}$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{7\pi}{4} + \frac{7\pi n}{2}$, $n \in Z$.

3) Исходное уравнение: $8cos^2 x - 3 = 0$.
Сначала выразим $cos^2 x$ из уравнения:
$8cos^2 x = 3$
$cos^2 x = \frac{3}{8}$
Применим формулу понижения степени $cos^2 x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$:
$\frac{1 + cos(2x)}{2} = \frac{3}{8}$
Умножим обе части на 2:
$1 + cos(2x) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
Выразим $cos(2x)$:
$cos(2x) = \frac{3}{4} - 1 = -\frac{1}{4}$
Общее решение для уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$.
В нашем случае $t = 2x$ и $a = -\frac{1}{4}$.
$2x = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi n$
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = \pm \frac{1}{2} arccos(-\frac{1}{4}) + \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{2} arccos(-\frac{1}{4}) + \pi n$, $n \in Z$.