Номер 218, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

218. Докажите тождество:

1) $ \cos 5\alpha + \cos 8\alpha + \cos 9\alpha + \cos 12\alpha = 4 \cos \frac{3\alpha}{2} \cos 2\alpha \cos \frac{17\alpha}{2}; $

2) $ \frac{\sin 4\alpha - \sin 2\alpha}{\cos 4\alpha + \cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha; $

3) $ \frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha - \cos 3\alpha - \sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha; $

4) $ \cos^2(\alpha - \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta. $

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(\cos{12\alpha} + \cos{5\alpha}) + (\cos{9\alpha} + \cos{8\alpha})$.

Применим формулу суммы косинусов $\cos{x} + \cos{y} = 2\cos{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}$ к каждой группе.

$\cos{12\alpha} + \cos{5\alpha} = 2\cos{\frac{12\alpha+5\alpha}{2}}\cos{\frac{12\alpha-5\alpha}{2}} = 2\cos{\frac{17\alpha}{2}}\cos{\frac{7\alpha}{2}}$

$\cos{9\alpha} + \cos{8\alpha} = 2\cos{\frac{9\alpha+8\alpha}{2}}\cos{\frac{9\alpha-8\alpha}{2}} = 2\cos{\frac{17\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}$

Подставим полученные выражения в левую часть: $2\cos{\frac{17\alpha}{2}}\cos{\frac{7\alpha}{2}} + 2\cos{\frac{17\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}$.

Вынесем общий множитель $2\cos{\frac{17\alpha}{2}}$ за скобки: $2\cos{\frac{17\alpha}{2}} (\cos{\frac{7\alpha}{2}} + \cos{\frac{\alpha}{2}})$.

Снова применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:

$\cos{\frac{7\alpha}{2}} + \cos{\frac{\alpha}{2}} = 2\cos{\frac{\frac{7\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}}{2}}\cos{\frac{\frac{7\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}}{2}} = 2\cos{\frac{8\alpha}{4}}\cos{\frac{6\alpha}{4}} = 2\cos{2\alpha}\cos{\frac{3\alpha}{2}}$.

Подставим это обратно в наше выражение: $2\cos{\frac{17\alpha}{2}} \cdot 2\cos{2\alpha}\cos{\frac{3\alpha}{2}} = 4\cos{\frac{3\alpha}{2}}\cos{2\alpha}\cos{\frac{17\alpha}{2}}$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулы преобразования разности синусов и суммы косинусов в произведение.

Формула разности синусов: $\sin{x} - \sin{y} = 2\cos{\frac{x+y}{2}}\sin{\frac{x-y}{2}}$. В числителе: $\sin{4\alpha} - \sin{2\alpha} = 2\cos{\frac{4\alpha+2\alpha}{2}}\sin{\frac{4\alpha-2\alpha}{2}} = 2\cos{3\alpha}\sin{\alpha}$.

Формула суммы косинусов: $\cos{x} + \cos{y} = 2\cos{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}$. В знаменателе: $\cos{4\alpha} + \cos{2\alpha} = 2\cos{\frac{4\alpha+2\alpha}{2}}\cos{\frac{4\alpha-2\alpha}{2}} = 2\cos{3\alpha}\cos{\alpha}$.

Подставим преобразованные выражения в левую часть: $\frac{2\cos{3\alpha}\sin{\alpha}}{2\cos{3\alpha}\cos{\alpha}}$.

Сократим дробь на $2\cos{3\alpha}$ (при условии, что $\cos{3\alpha} \neq 0$): $\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$.

По определению тангенса, $\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \text{tg}\,\alpha$.

Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе.

Числитель: $(\sin{\alpha} + \sin{3\alpha}) - \cos{\alpha}$. Применим формулу суммы синусов $\sin{x} + \sin{y} = 2\sin{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}$:

$\sin{\alpha} + \sin{3\alpha} = 2\sin{\frac{\alpha+3\alpha}{2}}\cos{\frac{3\alpha-\alpha}{2}} = 2\sin{2\alpha}\cos{\alpha}$.

Тогда числитель равен $2\sin{2\alpha}\cos{\alpha} - \cos{\alpha}$. Вынесем $\cos{\alpha}$ за скобки: $\cos{\alpha}(2\sin{2\alpha} - 1)$.

Знаменатель: $(\cos{\alpha} - \cos{3\alpha}) - \sin{\alpha}$. Применим формулу разности косинусов $\cos{x} - \cos{y} = -2\sin{\frac{x+y}{2}}\sin{\frac{x-y}{2}}$:

$\cos{\alpha} - \cos{3\alpha} = -2\sin{\frac{\alpha+3\alpha}{2}}\sin{\frac{\alpha-3\alpha}{2}} = -2\sin{2\alpha}\sin{(-\alpha)} = 2\sin{2\alpha}\sin{\alpha}$.

Тогда знаменатель равен $2\sin{2\alpha}\sin{\alpha} - \sin{\alpha}$. Вынесем $\sin{\alpha}$ за скобки: $\sin{\alpha}(2\sin{2\alpha} - 1)$.

Подставим полученные выражения в дробь: $\frac{\cos{\alpha}(2\sin{2\alpha} - 1)}{\sin{\alpha}(2\sin{2\alpha} - 1)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(2\sin{2\alpha} - 1)$ (при условии, что он не равен нулю): $\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$.

По определению котангенса, $\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} = \text{ctg}\,\alpha$.

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Для доказательства используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Левая часть тождества: $\cos^2(\alpha - \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

Преобразуем каждую скобку, используя формулы преобразования суммы и разности косинусов в произведение.

Для первой скобки (разность косинусов): $\cos{x} - \cos{y} = -2\sin{\frac{x+y}{2}}\sin{\frac{x-y}{2}}$.

$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = -2\sin{\frac{(\alpha - \beta) + (\alpha + \beta)}{2}}\sin{\frac{(\alpha - \beta) - (\alpha + \beta)}{2}} = -2\sin{\frac{2\alpha}{2}}\sin{\frac{-2\beta}{2}} = -2\sin{\alpha}\sin{(-\beta)} = 2\sin{\alpha}\sin{\beta}$.

Для второй скобки (сумма косинусов): $\cos{x} + \cos{y} = 2\cos{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}$.

$\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = 2\cos{\frac{(\alpha - \beta) + (\alpha + \beta)}{2}}\cos{\frac{(\alpha - \beta) - (\alpha + \beta)}{2}} = 2\cos{\frac{2\alpha}{2}}\cos{\frac{-2\beta}{2}} = 2\cos{\alpha}\cos{(-\beta)} = 2\cos{\alpha}\cos{\beta}$.

Перемножим полученные выражения: $(2\sin{\alpha}\sin{\beta})(2\cos{\alpha}\cos{\beta}) = 4\sin{\alpha}\cos{\alpha}\sin{\beta}\cos{\beta}$.

Сгруппируем множители: $(2\sin{\alpha}\cos{\alpha})(2\sin{\beta}\cos{\beta})$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}$:

$(2\sin{\alpha}\cos{\alpha}) = \sin{2\alpha}$

$(2\sin{\beta}\cos{\beta}) = \sin{2\beta}$

В результате левая часть равна $\sin{2\alpha}\sin{2\beta}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.