Номер 216, страница 89 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

216. Преобразуйте в произведение:

1) $\sin 40^{\circ} + \cos 70^{\circ}$;

2) $\cos \frac{\pi}{8} - \sin \frac{\pi}{10}$;

3) $\sin 3\beta - \cos \beta$.

1) $\sin40° + \cos70°$
Для преобразования суммы в произведение необходимо привести оба слагаемых к одной тригонометрической функции. Используем формулу приведения $\cos\alpha = \sin(90° - \alpha)$:
$\cos70° = \sin(90° - 70°) = \sin20°$.
Теперь исходное выражение принимает вид суммы синусов:
$\sin40° + \sin20°$.
Применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\sin40° + \sin20° = 2\sin\frac{40°+20°}{2}\cos\frac{40°-20°}{2} = 2\sin\frac{60°}{2}\cos\frac{20°}{2} = 2\sin30°\cos10°$.
Поскольку $\sin30° = \frac{1}{2}$, получаем:
$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos10° = \cos10°$.
Ответ: $\cos10°$.

2) $\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{10}$
Приведем функции к одному наименованию. Используем формулу приведения $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$\cos\frac{\pi}{8} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{4\pi}{8} - \frac{\pi}{8}) = \sin\frac{3\pi}{8}$.
Выражение принимает вид разности синусов:
$\sin\frac{3\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{10}$.
Применим формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:
$\sin\frac{3\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{10} = 2\sin\frac{\frac{3\pi}{8}-\frac{\pi}{10}}{2}\cos\frac{\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{10}}{2}$.
Вычислим аргументы синуса и косинуса отдельно:
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{8}-\frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{15\pi-4\pi}{40}}{2} = \frac{\frac{11\pi}{40}}{2} = \frac{11\pi}{80}$.
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{15\pi+4\pi}{40}}{2} = \frac{\frac{19\pi}{40}}{2} = \frac{19\pi}{80}$.
Подставив найденные значения, получаем:
$2\sin\frac{11\pi}{80}\cos\frac{19\pi}{80}$.
Ответ: $2\sin\frac{11\pi}{80}\cos\frac{19\pi}{80}$.

3) $\sin3\beta - \cos\beta$
Сначала приведем $\cos\beta$ к функции синуса с помощью формулы приведения $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$\cos\beta = \sin(\frac{\pi}{2} - \beta)$.
Теперь выражение выглядит как разность синусов:
$\sin3\beta - \sin(\frac{\pi}{2} - \beta)$.
Используем формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\gamma = 2\sin\frac{\alpha-\gamma}{2}\cos\frac{\alpha+\gamma}{2}$:
$\sin3\beta - \sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = 2\sin\frac{3\beta - (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2}\cos\frac{3\beta + (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2}$.
Упростим аргументы синуса и косинуса:
$\frac{3\beta - (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2} = \frac{3\beta - \frac{\pi}{2} + \beta}{2} = \frac{4\beta - \frac{\pi}{2}}{2} = 2\beta - \frac{\pi}{4}$.
$\frac{3\beta + (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2} = \frac{2\beta + \frac{\pi}{2}}{2} = \beta + \frac{\pi}{4}$.
В итоге получаем произведение:
$2\sin(2\beta - \frac{\pi}{4})\cos(\beta + \frac{\pi}{4})$.
Ответ: $2\sin(2\beta - \frac{\pi}{4})\cos(\beta + \frac{\pi}{4})$.