Номер 209, страница 89 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. Дано: $cos\\alpha = 0,6$, $270^{\circ} < \\alpha < 360^{\circ}$. Найдите:

Поскольку угол $ \alpha $ находится в интервале $ 270^\circ < \alpha < 360^\circ $, он расположен в IV четверти. В этой четверти косинус положителен, а синус отрицателен.

Сначала найдем $ \sin\alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 $

$ \sin\alpha = \pm\sqrt{0,64} = \pm 0,8 $

Так как угол $ \alpha $ находится в IV четверти, значение $ \sin\alpha $ отрицательно. Следовательно, $ \sin\alpha = -0,8 $.

1) sin2α

Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Подставляем известные значения $ \sin\alpha = -0,8 $ и $ \cos\alpha = 0,6 $:

$ \sin2\alpha = 2 \cdot (-0,8) \cdot 0,6 = -1,6 \cdot 0,6 = -0,96 $

Ответ: -0,96

2) cos2α

Используем формулу косинуса двойного угла, например, $ \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $.

Подставляем известное значение $ \cos\alpha = 0,6 $:

$ \cos2\alpha = 2 \cdot (0,6)^2 - 1 = 2 \cdot 0,36 - 1 = 0,72 - 1 = -0,28 $

Для проверки можно использовать другую формулу: $ \cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.

$ \cos2\alpha = (0,6)^2 - (-0,8)^2 = 0,36 - 0,64 = -0,28 $

Ответ: -0,28

3) tg4α

Для нахождения $ \tan4\alpha $ сначала найдем $ \tan2\alpha $, используя уже найденные значения $ \sin2\alpha = -0,96 $ и $ \cos2\alpha = -0,28 $.

$ \tan2\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \frac{-0,96}{-0,28} = \frac{96}{28} = \frac{24}{7} $

Теперь используем формулу тангенса двойного угла для $ \tan4\alpha = \tan(2 \cdot 2\alpha) $:

$ \tan4\alpha = \frac{2\tan2\alpha}{1 - \tan^2(2\alpha)} $

Подставляем значение $ \tan2\alpha = \frac{24}{7} $ в формулу:

$ \tan4\alpha = \frac{2 \cdot \frac{24}{7}}{1 - (\frac{24}{7})^2} = \frac{\frac{48}{7}}{1 - \frac{576}{49}} = \frac{\frac{48}{7}}{\frac{49 - 576}{49}} = \frac{\frac{48}{7}}{-\frac{527}{49}} $

Выполняем деление дробей:

$ \tan4\alpha = \frac{48}{7} \cdot (-\frac{49}{527}) = - \frac{48 \cdot 7 \cdot 7}{7 \cdot 527} = - \frac{48 \cdot 7}{527} = -\frac{336}{527} $

Ответ: $-\frac{336}{527}$