Номер 203, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

203. Примените формулы двойного угла к выражению:

1) $\sin 14\alpha$;

2) $\sin \frac{\alpha}{8}$;

3) $\cos 3\alpha$;

4) $\text{tg} \frac{\alpha}{6}$;

5) $\cos (\alpha - \beta)$;

6) $\sin 2$;

7) $\sin \left(50^\circ + \frac{4x}{7}\right)$;

8) $\cos \left(\frac{8\pi}{9} - 2\beta\right)$.

1) sin14α

Для решения этой задачи применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. В данном выражении $\sin(14\alpha)$ аргумент равен $14\alpha$. Представим его в виде двойного угла: $2x = 14\alpha$. Отсюда находим "половинный" угол $x$: $x = \frac{14\alpha}{2} = 7\alpha$. Подставляем значение $x = 7\alpha$ в формулу синуса двойного угла: $\sin(14\alpha) = 2\sin(7\alpha)\cos(7\alpha)$.

Ответ: $2\sin(7\alpha)\cos(7\alpha)$.

2) sin$\frac{\alpha}{8}$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Аргумент функции равен $\frac{\alpha}{8}$. Положим $2x = \frac{\alpha}{8}$. Тогда половинный угол $x$ будет равен $x = \frac{\alpha/8}{2} = \frac{\alpha}{16}$. Подставляем $x = \frac{\alpha}{16}$ в формулу: $\sin\left(\frac{\alpha}{8}\right) = 2\sin\left(\frac{\alpha}{16}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{16}\right)$.

Ответ: $2\sin\left(\frac{\alpha}{16}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{16}\right)$.

3) cos3α

Применим формулу косинуса двойного угла. Она имеет три варианта: $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$, $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ и $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$. Используем первую из них. В выражении $\cos(3\alpha)$ аргумент равен $3\alpha$. Представим его как $2x = 3\alpha$. Отсюда "половинный" угол $x$ равен $x = \frac{3\alpha}{2}$. Подставляем $x = \frac{3\alpha}{2}$ в формулу $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$: $\cos(3\alpha) = \cos^2\left(\frac{3\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{3\alpha}{2}\right)$.

Ответ: $\cos^2\left(\frac{3\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{3\alpha}{2}\right)$.

4) tg$\frac{\alpha}{6}$

Используем формулу тангенса двойного угла: $\text{tg}(2x) = \frac{2\text{tg}(x)}{1 - \text{tg}^2(x)}$. В данном выражении $\text{tg}\left(\frac{\alpha}{6}\right)$ аргумент равен $\frac{\alpha}{6}$. Пусть $2x = \frac{\alpha}{6}$. Тогда половинный угол $x$ равен $x = \frac{\alpha/6}{2} = \frac{\alpha}{12}$. Подставляем $x = \frac{\alpha}{12}$ в формулу: $\text{tg}\left(\frac{\alpha}{6}\right) = \frac{2\text{tg}\left(\frac{\alpha}{12}\right)}{1 - \text{tg}^2\left(\frac{\alpha}{12}\right)}$.

Ответ: $\frac{2\text{tg}\left(\frac{\alpha}{12}\right)}{1 - \text{tg}^2\left(\frac{\alpha}{12}\right)}$.

5) cos(α − β)

Применим формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$. Аргумент функции равен $(\alpha - \beta)$. Положим $2x = \alpha - \beta$. Тогда половинный угол $x$ будет равен $x = \frac{\alpha - \beta}{2}$. Подставляем $x = \frac{\alpha - \beta}{2}$ в формулу: $\cos(\alpha - \beta) = \cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.

Ответ: $\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.

6) sin2

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Аргумент функции равен $2$. Положим $2x = 2$. Тогда половинный угол $x$ равен $x = \frac{2}{2} = 1$ (радиан). Подставляем $x = 1$ в формулу: $\sin(2) = 2\sin(1)\cos(1)$.

Ответ: $2\sin(1)\cos(1)$.

7) sin$\left(50^\circ + \frac{4x}{7}\right)$

Применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$. Аргумент функции равен $50^\circ + \frac{4x}{7}$. Пусть $2A = 50^\circ + \frac{4x}{7}$. Тогда половинный угол $A$ равен $A = \frac{50^\circ + \frac{4x}{7}}{2} = 25^\circ + \frac{2x}{7}$. Подставляем $A = 25^\circ + \frac{2x}{7}$ в формулу: $\sin\left(50^\circ + \frac{4x}{7}\right) = 2\sin\left(25^\circ + \frac{2x}{7}\right)\cos\left(25^\circ + \frac{2x}{7}\right)$.

Ответ: $2\sin\left(25^\circ + \frac{2x}{7}\right)\cos\left(25^\circ + \frac{2x}{7}\right)$.

8) cos$\left(\frac{8\pi}{9} - 2\beta\right)$

Применим формулу косинуса двойного угла: $\cos(2A) = \cos^2(A) - \sin^2(A)$. Аргумент функции равен $\frac{8\pi}{9} - 2\beta$. Пусть $2A = \frac{8\pi}{9} - 2\beta$. Тогда половинный угол $A$ равен $A = \frac{\frac{8\pi}{9} - 2\beta}{2} = \frac{4\pi}{9} - \beta$. Подставляем $A = \frac{4\pi}{9} - \beta$ в формулу: $\cos\left(\frac{8\pi}{9} - 2\beta\right) = \cos^2\left(\frac{4\pi}{9} - \beta\right) - \sin^2\left(\frac{4\pi}{9} - \beta\right)$.

Ответ: $\cos^2\left(\frac{4\pi}{9} - \beta\right) - \sin^2\left(\frac{4\pi}{9} - \beta\right)$.