Номер 196, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

196. Найдите наименьшее значение выражения:

1) $\cos \alpha - \sin \alpha;$

2) $8\cos \alpha - 15\sin \alpha.$

Для нахождения наименьшего значения выражения вида $a\cos\alpha + b\sin\alpha$ используется метод введения вспомогательного угла. Выражение преобразуется к виду $R\cos(\alpha + \phi)$ или $R\sin(\alpha + \phi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Поскольку функции синус и косинус принимают значения в диапазоне от $-1$ до $1$, область значений выражения $a\cos\alpha + b\sin\alpha$ представляет собой отрезок $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$. Таким образом, наименьшее значение выражения равно $-\sqrt{a^2+b^2}$.

Рассмотрим выражение $\cos\alpha - \sin\alpha$.

Данное выражение имеет вид $a\cos\alpha + b\sin\alpha$, где коэффициенты $a=1$ и $b=-1$.

Найдем наименьшее значение по формуле $-\sqrt{a^2+b^2}$:
Наименьшее значение = $-\sqrt{1^2 + (-1)^2} = -\sqrt{1 + 1} = -\sqrt{2}$.

Проведем преобразование для наглядности:
$\cos\alpha - \sin\alpha = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\alpha - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\alpha\right)$.

Поскольку $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, мы можем использовать формулу косинуса суммы $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$:
$\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\alpha - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\alpha\right) = \sqrt{2}\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$.

Функция $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$ принимает значения от $-1$ до $1$. Следовательно, наименьшее значение всего выражения будет $\sqrt{2} \cdot (-1) = -\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}$.

Рассмотрим выражение $8\cos\alpha - 15\sin\alpha$.

Это выражение вида $a\cos\alpha + b\sin\alpha$, где $a=8$ и $b=-15$.

Найдем наименьшее значение по формуле $-\sqrt{a^2+b^2}$:
Наименьшее значение = $-\sqrt{8^2 + (-15)^2} = -\sqrt{64 + 225} = -\sqrt{289} = -17$.

Проведем преобразование:
$8\cos\alpha - 15\sin\alpha = 17\left(\frac{8}{17}\cos\alpha - \frac{15}{17}\sin\alpha\right)$.

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos\phi = \frac{8}{17}$ и $\sin\phi = \frac{15}{17}$ (такой угол существует, так как $\left(\frac{8}{17}\right)^2 + \left(\frac{15}{17}\right)^2 = 1$).

Тогда выражение можно записать в виде:
$17(\cos\phi\cos\alpha - \sin\phi\sin\alpha) = 17\cos(\alpha + \phi)$.

Функция $\cos(\alpha + \phi)$ принимает значения от $-1$ до $1$. Следовательно, наименьшее значение всего выражения будет $17 \cdot (-1) = -17$.

Ответ: $-17$.