Номер 199, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. Вычислите:

1) $ \cos 240^\circ; $

2) $ \cot (-300^\circ); $

3) $ \tan \left(-\frac{13\pi}{6}\right); $

4) $ \sin \frac{5\pi}{3}; $

5) $ \tan 1050^\circ; $

6) $ \cos \frac{43\pi}{4}. $

1) Для вычисления $ \cos(240^\circ) $ воспользуемся формулами приведения. Угол $ 240^\circ $ находится в третьей координатной четверти. Представим $ 240^\circ $ как $ 180^\circ + 60^\circ $.
Согласно формуле приведения $ \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $, получаем:
$ \cos(240^\circ) = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos(60^\circ) $.
Так как значение $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $, то:
$ \cos(240^\circ) = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $.

2) Для вычисления $ \text{ctg}(-300^\circ) $ используем свойство нечетности котангенса, $ \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $, и его периодичность.
$ \text{ctg}(-300^\circ) = -\text{ctg}(300^\circ) $.
Угол $ 300^\circ $ находится в четвертой четверти. Применим формулу приведения, представив $ 300^\circ $ как $ 360^\circ - 60^\circ $.
$ -\text{ctg}(300^\circ) = -\text{ctg}(360^\circ - 60^\circ) = -(-\text{ctg}(60^\circ)) = \text{ctg}(60^\circ) $.
Значение $ \text{ctg}(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Следовательно, $ \text{ctg}(-300^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.

3) Для вычисления $ \text{tg}\left(-\frac{13\pi}{6}\right) $ используем свойство нечетности тангенса, $ \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $, и его периодичность.
$ \text{tg}\left(-\frac{13\pi}{6}\right) = -\text{tg}\left(\frac{13\pi}{6}\right) $.
Выделим полный оборот $ 2\pi $ из аргумента: $ \frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi + \pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6} $.
Так как период тангенса $ \pi $ (и, следовательно, $ 2\pi $), то $ \text{tg}(2\pi + \alpha) = \text{tg}(\alpha) $.
$ -\text{tg}\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) $.
Значение $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Следовательно, $ \text{tg}\left(-\frac{13\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

4) Для вычисления $ \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) $ воспользуемся формулами приведения. Угол $ \frac{5\pi}{3} $ находится в четвертой четверти. Представим $ \frac{5\pi}{3} $ как $ 2\pi - \frac{\pi}{3} $.
Согласно формуле приведения $ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $, получаем:
$ \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) $.
Значение $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Следовательно, $ \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

5) Для вычисления $ \text{tg}(1050^\circ) $ воспользуемся периодичностью тангенса (период $ 180^\circ $). Выделим целое число периодов в $ 1050^\circ $.
$ 1050^\circ = 5 \cdot 180^\circ + 150^\circ = 900^\circ + 150^\circ $.
Следовательно, $ \text{tg}(1050^\circ) = \text{tg}(150^\circ) $.
Угол $ 150^\circ $ находится во второй четверти. Применим формулу приведения, представив $ 150^\circ $ как $ 180^\circ - 30^\circ $.
$ \text{tg}(150^\circ) = \text{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{tg}(30^\circ) $.
Значение $ \text{tg}(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Следовательно, $ \text{tg}(1050^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

6) Для вычисления $ \cos\left(\frac{43\pi}{4}\right) $ воспользуемся периодичностью косинуса (период $ 2\pi $). Выделим целое число периодов.
$ \frac{43\pi}{4} = \frac{40\pi + 3\pi}{4} = \frac{40\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 10\pi + \frac{3\pi}{4} = 5 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{4} $.
Следовательно, $ \cos\left(\frac{43\pi}{4}\right) = \cos\left(5 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) $.
Угол $ \frac{3\pi}{4} $ находится во второй четверти. Применим формулу приведения, представив $ \frac{3\pi}{4} $ как $ \pi - \frac{\pi}{4} $.
$ \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $.
Значение $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Следовательно, $ \cos\left(\frac{43\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.