Номер 205, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 12\alpha}{\cos 6\alpha}$;

2) $\frac{\cos 5\alpha}{\cos \frac{5\alpha}{2} + \sin \frac{5\alpha}{2}}$;

3) $1 - 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right)$;

4) $\cos \frac{2\alpha}{3} \sin \frac{2\alpha}{3} - \cos \frac{4\alpha}{3}$;

5) $\frac{\operatorname{tg} \frac{\alpha}{6} \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{3}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{6}}$;

6) $\frac{\operatorname{tg} 8\alpha(1 - \operatorname{tg}^2 4\alpha)}{1 + \operatorname{tg}^2 4\alpha}$;

7) $\cos^2 7\alpha + \frac{4\operatorname{tg}^2 \frac{7\alpha}{2}}{\left(1 + \operatorname{tg}^2 \frac{7\alpha}{2}\right)^2}$.

1)

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.

В данном случае $x = 6\alpha$, тогда $2x = 12\alpha$.

$\frac{\sin(12\alpha)}{\cos(6\alpha)} = \frac{2\sin(6\alpha)\cos(6\alpha)}{\cos(6\alpha)}$

Сокращаем $\cos(6\alpha)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\cos(6\alpha) \neq 0$):

$2\sin(6\alpha)$

Ответ: $2\sin(6\alpha)$

2)

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$.

В данном случае $x = \frac{5\alpha}{2}$, тогда $2x = 5\alpha$.

$\cos(5\alpha) = \cos^2(\frac{5\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{5\alpha}{2})$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю:

$\frac{\cos(5\alpha)}{\cos(\frac{5\alpha}{2}) + \sin(\frac{5\alpha}{2})} = \frac{(\cos(\frac{5\alpha}{2}) - \sin(\frac{5\alpha}{2}))(\cos(\frac{5\alpha}{2}) + \sin(\frac{5\alpha}{2}))}{\cos(\frac{5\alpha}{2}) + \sin(\frac{5\alpha}{2})}$

Сокращаем общий множитель $(\cos(\frac{5\alpha}{2}) + \sin(\frac{5\alpha}{2}))$:

$\cos(\frac{5\alpha}{2}) - \sin(\frac{5\alpha}{2})$

Ответ: $\cos(\frac{5\alpha}{2}) - \sin(\frac{5\alpha}{2})$

3)

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.

Преобразуем выражение:

$1 - 2\cos^2(\frac{\pi}{4} + 3\alpha) = -(2\cos^2(\frac{\pi}{4} + 3\alpha) - 1)$

Пусть $x = \frac{\pi}{4} + 3\alpha$. Тогда выражение в скобках равно $\cos(2x)$.

$2x = 2(\frac{\pi}{4} + 3\alpha) = \frac{\pi}{2} + 6\alpha$.

Получаем: $-\cos(\frac{\pi}{2} + 6\alpha)$.

Используем формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + y) = -\sin(y)$:

$-(-\sin(6\alpha)) = \sin(6\alpha)$

Ответ: $\sin(6\alpha)$

4)

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, из которой следует, что $\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Сгруппируем первые два множителя:

$\cos(\frac{2\alpha}{3})\sin(\frac{2\alpha}{3}) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{2\alpha}{3}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{4\alpha}{3})$

Подставим это обратно в выражение:

$\frac{1}{2}\sin(\frac{4\alpha}{3})\cos(\frac{4\alpha}{3})$

Применим ту же формулу еще раз:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{4\alpha}{3}) = \frac{1}{4}\sin(\frac{8\alpha}{3})$

Ответ: $\frac{1}{4}\sin(\frac{8\alpha}{3})$

5)

Используем формулу тангенса двойного угла $\text{tg}(2x) = \frac{2\text{tg}(x)}{1 - \text{tg}^2(x)}$ и тождество $\text{ctg}(x) = \frac{1}{\text{tg}(x)}$.

Перепишем выражение:

$\frac{\text{tg}(\frac{\alpha}{6})\text{ctg}(\frac{\alpha}{3})}{1 - \text{tg}^2(\frac{\alpha}{6})} = \frac{\text{tg}(\frac{\alpha}{6})}{\text{tg}(\frac{\alpha}{3})(1 - \text{tg}^2(\frac{\alpha}{6}))} = \frac{1}{\text{tg}(\frac{\alpha}{3})} \cdot \frac{\text{tg}(\frac{\alpha}{6})}{1 - \text{tg}^2(\frac{\alpha}{6})}$

Из формулы тангенса двойного угла, если $x = \frac{\alpha}{6}$, то $2x = \frac{\alpha}{3}$, и мы имеем $\frac{\text{tg}(\frac{\alpha}{6})}{1 - \text{tg}^2(\frac{\alpha}{6})} = \frac{1}{2}\text{tg}(2 \cdot \frac{\alpha}{6}) = \frac{1}{2}\text{tg}(\frac{\alpha}{3})$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{1}{\text{tg}(\frac{\alpha}{3})} \cdot \frac{1}{2}\text{tg}(\frac{\alpha}{3}) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

6)

Используем формулу косинуса двойного угла через тангенс: $\cos(2x) = \frac{1 - \text{tg}^2(x)}{1 + \text{tg}^2(x)}$.

В данном случае $x=4\alpha$, тогда $2x=8\alpha$.

Следовательно, $\frac{1 - \text{tg}^2(4\alpha)}{1 + \text{tg}^2(4\alpha)} = \cos(8\alpha)$.

Подставим это в исходное выражение:

$\text{tg}(8\alpha) \cdot \cos(8\alpha)$

Так как $\text{tg}(8\alpha) = \frac{\sin(8\alpha)}{\cos(8\alpha)}$, получаем:

$\frac{\sin(8\alpha)}{\cos(8\alpha)} \cdot \cos(8\alpha) = \sin(8\alpha)$

Ответ: $\sin(8\alpha)$

7)

Рассмотрим второе слагаемое. Используем формулу синуса двойного угла через тангенс: $\sin(2x) = \frac{2\text{tg}(x)}{1 + \text{tg}^2(x)}$.

Второе слагаемое можно переписать как:

$\frac{4\text{tg}^2(\frac{7\alpha}{2})}{(1 + \text{tg}^2(\frac{7\alpha}{2}))^2} = \left(\frac{2\text{tg}(\frac{7\alpha}{2})}{1 + \text{tg}^2(\frac{7\alpha}{2})}\right)^2$

Пусть $x = \frac{7\alpha}{2}$, тогда $2x = 7\alpha$. Выражение в скобках равно $\sin(2x) = \sin(7\alpha)$.

Таким образом, второе слагаемое равно $\sin^2(7\alpha)$.

Все выражение принимает вид:

$\cos^2(7\alpha) + \sin^2(7\alpha)$

По основному тригонометрическому тождеству $\cos^2(y) + \sin^2(y) = 1$.

$\cos^2(7\alpha) + \sin^2(7\alpha) = 1$

Ответ: $1$