Номер 208, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

208. Докажите тождество:

1) $2\cos^2 \alpha - \cos 2\alpha = 1;$

2) $\operatorname{tg} \alpha(1 + \cos 2\alpha) = \sin 2\alpha;$

3) $\frac{1 + \cos 2\alpha - \cos \alpha}{\sin 2\alpha - \sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha.$

1) Докажем тождество $2\cos^2\alpha - \cos2\alpha = 1$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла: $\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$2\cos^2\alpha - \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - (2\cos^2\alpha - 1)$

Теперь раскроем скобки. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри скобки на противоположные:

$2\cos^2\alpha - 2\cos^2\alpha + 1 = 1$

После приведения подобных слагаемых левая часть равенства стала равна $1$, что соответствует правой части. Таким образом, $1 = 1$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\tg\alpha(1 + \cos2\alpha) = \sin2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства. Используем формулу для косинуса двойного угла, из которой следует, что $1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$. Также воспользуемся определением тангенса: $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Подставим эти выражения в левую часть:

$\tg\alpha(1 + \cos2\alpha) = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot (2\cos^2\alpha)$

Сократим дробь на $\cos\alpha$ (это возможно при условии, что $\cos\alpha \neq 0$, при котором $\tg\alpha$ определен):

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot 2\cos^2\alpha = \sin\alpha \cdot 2\cos\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Полученное выражение $2\sin\alpha\cos\alpha$ является формулой синуса двойного угла: $\sin2\alpha$.

В результате мы преобразовали левую часть к виду правой части: $\sin2\alpha = \sin2\alpha$.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{1 + \cos2\alpha - \cos\alpha}{\sin2\alpha - \sin\alpha} = \ctg\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого отдельно преобразуем числитель и знаменатель дроби.

Начнем с числителя: $1 + \cos2\alpha - \cos\alpha$. Используем формулу $1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$.

$1 + \cos2\alpha - \cos\alpha = 2\cos^2\alpha - \cos\alpha$

Вынесем общий множитель $\cos\alpha$ за скобки:

$\cos\alpha(2\cos\alpha - 1)$

Теперь преобразуем знаменатель: $\sin2\alpha - \sin\alpha$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$\sin2\alpha - \sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha - \sin\alpha$

Вынесем общий множитель $\sin\alpha$ за скобки:

$\sin\alpha(2\cos\alpha - 1)$

Подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$\frac{\cos\alpha(2\cos\alpha - 1)}{\sin\alpha(2\cos\alpha - 1)}$

Сократим общий множитель $(2\cos\alpha - 1)$, при условии, что он не равен нулю (т.е. $\cos\alpha \neq \frac{1}{2}$), и знаменатель не равен нулю (т.е. $\sin\alpha \neq 0$):

$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Данное выражение по определению является котангенсом: $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \ctg\alpha$.

Таким образом, левая часть равна правой: $\ctg\alpha = \ctg\alpha$.

Ответ: Тождество доказано.