Номер 215, страница 89 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

215. Преобразуйте в произведение:

1) $sin 20^\circ + sin 50^\circ$;

2) $sin 13\alpha - sin 7\alpha$;

3) $cos \frac{7\pi}{9} + cos \frac{5\pi}{9}$;

4) $cos 14\alpha - cos 6\alpha$;

5) $cos\left(\beta + \frac{\pi}{10}\right) + cos\left(\beta - \frac{\pi}{10}\right)$;

6) $sin\left(4\alpha - \frac{5\pi}{6}\right) - sin\left(4\alpha - \frac{\pi}{6}\right)$.

1) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула $ \sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $.
Подставим в формулу $ x = 20° $ и $ y = 50° $:
$ \sin 20° + \sin 50° = 2 \sin\left(\frac{20°+50°}{2}\right) \cos\left(\frac{20°-50°}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{70°}{2}\right) \cos\left(\frac{-30°}{2}\right) = 2 \sin(35°) \cos(-15°) $.
Так как функция косинуса является четной, $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $, то $ \cos(-15°) = \cos(15°) $.
Следовательно, выражение равно $ 2 \sin(35°) \cos(15°) $.
Ответ: $ 2 \sin(35°) \cos(15°) $.

2) Для преобразования разности синусов в произведение используется формула $ \sin x - \sin y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $.
Подставим в формулу $ x = 13\alpha $ и $ y = 7\alpha $:
$ \sin 13\alpha - \sin 7\alpha = 2 \cos\left(\frac{13\alpha+7\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{13\alpha-7\alpha}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{20\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{6\alpha}{2}\right) = 2 \cos(10\alpha) \sin(3\alpha) $.
Ответ: $ 2 \cos(10\alpha) \sin(3\alpha) $.

3) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула $ \cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $.
Подставим в формулу $ x = \frac{7\pi}{9} $ и $ y = \frac{5\pi}{9} $:
$ \cos\frac{7\pi}{9} + \cos\frac{5\pi}{9} = 2 \cos\left(\frac{\frac{7\pi}{9}+\frac{5\pi}{9}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{7\pi}{9}-\frac{5\pi}{9}}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{\frac{12\pi}{9}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{2\pi}{9}}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) $.
Мы знаем, что $ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = - \frac{1}{2} $.
Подставим это значение в выражение:
$ 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{9}\right) $.
Ответ: $ -\cos\left(\frac{\pi}{9}\right) $.

4) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула $ \cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $.
Подставим в формулу $ x = 14\alpha $ и $ y = 6\alpha $:
$ \cos 14\alpha - \cos 6\alpha = -2 \sin\left(\frac{14\alpha+6\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{14\alpha-6\alpha}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{20\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{8\alpha}{2}\right) = -2 \sin(10\alpha) \sin(4\alpha) $.
Ответ: $ -2 \sin(10\alpha) \sin(4\alpha) $.

5) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула $ \cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $.
Подставим в формулу $ x = \beta + \frac{\pi}{10} $ и $ y = \beta - \frac{\pi}{10} $:
$ \frac{x+y}{2} = \frac{(\beta + \frac{\pi}{10}) + (\beta - \frac{\pi}{10})}{2} = \frac{2\beta}{2} = \beta $.
$ \frac{x-y}{2} = \frac{(\beta + \frac{\pi}{10}) - (\beta - \frac{\pi}{10})}{2} = \frac{\beta + \frac{\pi}{10} - \beta + \frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{10}}{2} = \frac{\pi}{10} $.
Следовательно, $ \cos(\beta + \frac{\pi}{10}) + \cos(\beta - \frac{\pi}{10}) = 2 \cos(\beta) \cos\left(\frac{\pi}{10}\right) $.
Ответ: $ 2 \cos(\beta) \cos\left(\frac{\pi}{10}\right) $.

6) Для преобразования разности синусов в произведение используется формула $ \sin x - \sin y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $.
Подставим $ x = 4\alpha - \frac{5\pi}{6} $ и $ y = 4\alpha - \frac{\pi}{6} $:
$ \frac{x+y}{2} = \frac{(4\alpha - \frac{5\pi}{6}) + (4\alpha - \frac{\pi}{6})}{2} = \frac{8\alpha - \frac{6\pi}{6}}{2} = \frac{8\alpha - \pi}{2} = 4\alpha - \frac{\pi}{2} $.
$ \frac{x-y}{2} = \frac{(4\alpha - \frac{5\pi}{6}) - (4\alpha - \frac{\pi}{6})}{2} = \frac{-\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{-\frac{4\pi}{6}}{2} = \frac{-\frac{2\pi}{3}}{2} = -\frac{\pi}{3} $.
Подставляя полученные значения в формулу, получаем:
$ 2 \cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right) \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) $.
Используя формулу приведения $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha) $ и свойство нечетности синуса $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $, упростим выражение:
$ \cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \sin(4\alpha) $.
$ \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Тогда итоговое выражение будет:
$ 2 \sin(4\alpha) \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3} \sin(4\alpha) $.
Ответ: $ -\sqrt{3} \sin(4\alpha) $.