Номер 220, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

220. Докажите тождество

$4\cos^2 \alpha - 3 = 4\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$

Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть, чтобы привести её к виду левой части.

Правая часть тождества: $4\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$.

Воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности:

$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$

Применим эти формулы для нашего выражения, где $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$:

$\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha$

$\sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha$

Нам известны значения синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{6}$:

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в выражения:

$\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

$\sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

Теперь перемножим эти два выражения. Их произведение имеет вид $(a+b)(a-b)$, что по формуле разности квадратов равно $a^2 - b^2$:

$\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \left(\frac{1}{2}\cos\alpha\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right)^2 = \frac{1}{4}\cos^2\alpha - \frac{3}{4}\sin^2\alpha$

Подставим полученный результат в правую часть исходного тождества:

$4\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = 4\left(\frac{1}{4}\cos^2\alpha - \frac{3}{4}\sin^2\alpha\right) = \cos^2\alpha - 3\sin^2\alpha$

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$. Заменим $\sin^2\alpha$ в нашем выражении:

$\cos^2\alpha - 3\sin^2\alpha = \cos^2\alpha - 3(1 - \cos^2\alpha) = \cos^2\alpha - 3 + 3\cos^2\alpha = 4\cos^2\alpha - 3$

Таким образом, мы показали, что правая часть тождества $4\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$ равна левой части $4\cos^2\alpha - 3$.

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.