Номер 213, страница 89 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

213. Упростите выражение $ \sqrt{\frac{\cos 2\alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha}} $, если $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4} $.

Для того чтобы упростить данное выражение, преобразуем сначала знаменатель подкоренного выражения, используя основные тригонометрические формулы.

1. Упрощение знаменателя $\cot^2{\alpha} - \tan^2{\alpha}$

Представим котангенс и тангенс через синус и косинус:

$\cot^2{\alpha} - \tan^2{\alpha} = \frac{\cos^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}} - \frac{\sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin^2{\alpha}\cos^2{\alpha}$:

$\frac{\cos^2{\alpha} \cdot \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} \cdot \sin^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}\cos^2{\alpha}} = \frac{\cos^4{\alpha} - \sin^4{\alpha}}{\sin^2{\alpha}\cos^2{\alpha}}$

В числителе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{(\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha})(\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha})}{\sin^2{\alpha}\cos^2{\alpha}}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}$.

Числитель становится равен $\cos{2\alpha} \cdot 1 = \cos{2\alpha}$.

Для знаменателя $\sin^2{\alpha}\cos^2{\alpha}$ используем формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$, из которой следует, что $\sin{\alpha}\cos{\alpha} = \frac{\sin{2\alpha}}{2}$. Тогда:

$\sin^2{\alpha}\cos^2{\alpha} = (\sin{\alpha}\cos{\alpha})^2 = \left(\frac{\sin{2\alpha}}{2}\right)^2 = \frac{\sin^2{2\alpha}}{4}$

Таким образом, весь знаменатель исходного выражения равен:

$\cot^2{\alpha} - \tan^2{\alpha} = \frac{\cos{2\alpha}}{\frac{\sin^2{2\alpha}}{4}} = \frac{4\cos{2\alpha}}{\sin^2{2\alpha}}$

2. Подстановка и упрощение всего выражения

Подставим полученное выражение в исходное:

$\sqrt{\frac{\cos{2\alpha}}{\cot^2{\alpha} - \tan^2{\alpha}}} = \sqrt{\frac{\cos{2\alpha}}{\frac{4\cos{2\alpha}}{\sin^2{2\alpha}}}}$

Сократим $\cos{2\alpha}$ в числителе и знаменателе дроби под корнем:

$\sqrt{\frac{1}{\frac{4}{\sin^2{2\alpha}}}} = \sqrt{\frac{\sin^2{2\alpha}}{4}}$

Извлечем квадратный корень:

$\frac{\sqrt{\sin^2{2\alpha}}}{\sqrt{4}} = \frac{|\sin{2\alpha}|}{2}$

3. Определение знака $\sin{2\alpha}$

Нам дано условие $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$.

Чтобы определить, в какой четверти находится угол $2\alpha$, умножим все части неравенства на 2:

$2 \cdot \frac{\pi}{2} < 2\alpha < 2 \cdot \frac{3\pi}{4}$

$\pi < 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$

Угол $2\alpha$ находится в третьей координатной четверти, где значение синуса отрицательно, то есть $\sin{2\alpha} < 0$.

По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно, то $|x| = -x$. Следовательно:

$|\sin{2\alpha}| = -\sin{2\alpha}$

4. Окончательный результат

Подставим раскрытый модуль в наше упрощенное выражение:

$\frac{|\sin{2\alpha}|}{2} = \frac{-\sin{2\alpha}}{2} = -\frac{1}{2}\sin{2\alpha}$

Ответ: $-\frac{1}{2}\sin{2\alpha}$.