Номер 206, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

206. Представьте в виде произведения выражение:

1) $1 + \cos 4\beta$;

2) $1 - \cos \frac{\gamma}{3}$;

3) $1 + \sin \frac{4\pi}{9}$;

4) $1 - \sin 8\alpha$.

1) Для преобразования выражения $1 + \cos 4\beta$ воспользуемся формулой понижения степени для косинуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.
В нашем случае $2x = 4\beta$, следовательно, $x = 2\beta$.
Подставив это в формулу, получаем:
$1 + \cos 4\beta = 2\cos^2(2\beta)$.
Ответ: $2\cos^2(2\beta)$.

2) Для преобразования выражения $1 - \cos \frac{\gamma}{3}$ воспользуемся другой формулой понижения степени, также являющейся следствием формулы косинуса двойного угла: $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.
В данном случае $2x = \frac{\gamma}{3}$, откуда $x = \frac{\gamma}{6}$.
Применяя формулу, получаем:
$1 - \cos \frac{\gamma}{3} = 2\sin^2(\frac{\gamma}{6})$.
Ответ: $2\sin^2(\frac{\gamma}{6})$.

3) Чтобы представить в виде произведения выражение $1 + \sin\frac{4\pi}{9}$, сначала воспользуемся формулой приведения, чтобы заменить синус на косинус: $\sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$1 + \sin\frac{4\pi}{9} = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{9}) = 1 + \cos(\frac{9\pi - 8\pi}{18}) = 1 + \cos(\frac{\pi}{18})$.
Теперь применим формулу $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.
Здесь $2x = \frac{\pi}{18}$, значит $x = \frac{\pi}{36}$.
Таким образом, получаем:
$1 + \cos(\frac{\pi}{18}) = 2\cos^2(\frac{\pi}{36})$.
Ответ: $2\cos^2(\frac{\pi}{36})$.

4) Для выражения $1 - \sin 8\alpha$ поступим аналогично предыдущему пункту. Сначала заменим синус на косинус с помощью формулы приведения: $\sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$1 - \sin 8\alpha = 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - 8\alpha)$.
Далее применим формулу $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.
В нашем случае $2x = \frac{\pi}{2} - 8\alpha$, следовательно, $x = \frac{\frac{\pi}{2} - 8\alpha}{2} = \frac{\pi}{4} - 4\alpha$.
В результате получаем:
$1 - \cos(\frac{\pi}{2} - 8\alpha) = 2\sin^2(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)$.
Ответ: $2\sin^2(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)$.