Номер 201, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Упростите выражение:

1) $ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \sin(\pi - \alpha) - \cos(\pi - \alpha) - \sin(2\pi - \alpha); $

2) $ \sin\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right)\sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) + \cos(\alpha - 4\pi)\cos(3\pi - \alpha); $

3) $ \frac{\sin(\pi + \alpha)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)\operatorname{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\operatorname{tg}(\pi + \alpha)}. $

1) Упростим выражение $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \sin(\pi - \alpha) - \cos(\pi - \alpha) - \sin(2\pi - \alpha) $.

Для этого применим формулы приведения к каждому слагаемому:

• $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $ (угол в I четверти, знак синуса +, функция меняется на кофункцию).
• $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $ (угол во II четверти, знак синуса +, функция не меняется).
• $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (угол во II четверти, знак косинуса −, функция не меняется).
• $ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $ (угол в IV четверти, знак синуса −, функция не меняется).

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ \cos(\alpha) - \sin(\alpha) - (-\cos(\alpha)) - (-\sin(\alpha)) = \cos(\alpha) - \sin(\alpha) + \cos(\alpha) + \sin(\alpha) = 2\cos(\alpha) $.

Ответ: $ 2\cos(\alpha) $

2) Упростим выражение $ \sin(\frac{5\pi}{2} - \alpha)\sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) + \cos(\alpha - 4\pi)\cos(3\pi - \alpha) $.

Упростим каждый множитель, используя формулы приведения и свойства периодичности тригонометрических функций:

• $ \sin(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $.
• $ \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в III четверти, где синус отрицателен, и функция меняется на кофункцию. Таким образом, $ -\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -(-\cos(\alpha)) = \cos(\alpha) $.
• $ \cos(\alpha - 4\pi) = \cos(\alpha) $, так как период функции косинус равен $ 2\pi $.
• $ \cos(3\pi - \alpha) = \cos(2\pi + \pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $, так как угол $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где косинус отрицателен.

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$ \cos(\alpha) \cdot \cos(\alpha) + \cos(\alpha) \cdot (-\cos(\alpha)) = \cos^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) = 0 $.

Ответ: $ 0 $

3) Упростим выражение $ \frac{\sin(\pi + \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)\text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)\text{tg}(\pi + \alpha)} $.

Сначала упростим числитель дроби:

• $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $ (III четверть, sin < 0).
• $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha) $ (III четверть, cos < 0, функция меняется).
• $ \text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ (тангенс - нечетная функция, функция меняется).

Произведение в числителе: $ (-\sin(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot (-\text{ctg}(\alpha)) = \sin^2(\alpha) \cdot (-\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}) = -\sin(\alpha)\cos(\alpha) $.

Теперь упростим знаменатель дроби:

• $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha) $ (II четверть, cos < 0, функция меняется).
• $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha) $ (IV четверть, cos > 0, функция меняется).
• $ \text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}(\alpha) $ (III четверть, tg > 0).

Произведение в знаменателе: $ (-\sin(\alpha)) \cdot \sin(\alpha) \cdot \text{tg}(\alpha) = -\sin^2(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = -\frac{\sin^3(\alpha)}{\cos(\alpha)} $.

Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$ \frac{-\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{-\frac{\sin^3(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha) \cdot \cos(\alpha)}{\sin^3(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)}{\sin^3(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \text{ctg}^2(\alpha) $.

Ответ: $ \text{ctg}^2(\alpha) $