Номер 202, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

202. Упростите выражение:

1) $\tan 15^\circ + \tan 25^\circ + \tan 35^\circ + \dots + \tan 165^\circ$;

2) $\cot 12^\circ \cot 13^\circ \cot 14^\circ \dots \cot 78^\circ$.

1) $ \text{tg } 15^\circ + \text{tg } 25^\circ + \text{tg } 35^\circ + \dots + \text{tg } 165^\circ $

Данное выражение представляет собой сумму тангенсов, углы которых образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 15^\circ$ и разностью $d = 10^\circ$. Найдем количество членов $n$ в этой последовательности. Последний член $a_n = 165^\circ$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$165 = 15 + (n-1) \cdot 10$

$150 = (n-1) \cdot 10$

$15 = n-1$

$n = 16$

Всего в сумме 16 слагаемых. Это четное число, поэтому мы можем сгруппировать их попарно: первое с последним, второе с предпоследним и так далее, всего получится 8 пар.

Сумма $S$ выглядит так:

$S = (\text{tg } 15^\circ + \text{tg } 165^\circ) + (\text{tg } 25^\circ + \text{tg } 155^\circ) + \dots + (\text{tg } 85^\circ + \text{tg } 95^\circ)$

Воспользуемся формулой приведения: $ \text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg } \alpha $.

Рассмотрим каждую пару:

$ \text{tg } 15^\circ + \text{tg } 165^\circ = \text{tg } 15^\circ + \text{tg}(180^\circ - 15^\circ) = \text{tg } 15^\circ - \text{tg } 15^\circ = 0 $

$ \text{tg } 25^\circ + \text{tg } 155^\circ = \text{tg } 25^\circ + \text{tg}(180^\circ - 25^\circ) = \text{tg } 25^\circ - \text{tg } 25^\circ = 0 $

Аналогично, сумма членов в каждой из 8 пар будет равна нулю.

Следовательно, вся сумма равна нулю.

Ответ: 0

2) $ \text{ctg } 12^\circ \cdot \text{ctg } 13^\circ \cdot \text{ctg } 14^\circ \cdot \dots \cdot \text{ctg } 78^\circ $

Данное выражение представляет собой произведение котангенсов. Углы образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 12^\circ$, разностью $d = 1^\circ$ и последним членом $a_n = 78^\circ$.

Найдем количество множителей в произведении:

$n = 78 - 12 + 1 = 67$

Всего в произведении 67 множителей. Сгруппируем их попарно: первый с последним, второй с предпоследним и так далее.

Воспользуемся формулой приведения $ \text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \text{tg } \alpha $ и основным тригонометрическим тождеством $ \text{ctg } \alpha \cdot \text{tg } \alpha = 1 $.

Рассмотрим произведение первой и последней пары:

$ \text{ctg } 12^\circ \cdot \text{ctg } 78^\circ = \text{ctg } 12^\circ \cdot \text{ctg}(90^\circ - 12^\circ) = \text{ctg } 12^\circ \cdot \text{tg } 12^\circ = 1 $

Рассмотрим произведение второй и предпоследней пары:

$ \text{ctg } 13^\circ \cdot \text{ctg } 77^\circ = \text{ctg } 13^\circ \cdot \text{ctg}(90^\circ - 13^\circ) = \text{ctg } 13^\circ \cdot \text{tg } 13^\circ = 1 $

Поскольку общее количество множителей (67) нечетное, один из них останется без пары. Это будет центральный член последовательности. Номер центрального члена: $(67+1)/2 = 34$-й.

Найдем угол этого члена: $ a_{34} = a_1 + (34-1)d = 12^\circ + 33 \cdot 1^\circ = 45^\circ $.

Таким образом, центральный множитель, оставшийся без пары, — это $ \text{ctg } 45^\circ $.

Все произведение можно представить как произведение $(67-1)/2 = 33$ пар, каждая из которых равна 1, и центрального члена $ \text{ctg } 45^\circ $.

$P = ( \text{ctg } 12^\circ \cdot \text{ctg } 78^\circ) \cdot \dots \cdot \text{ctg } 45^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1 \cdot \text{ctg } 45^\circ$

Так как $ \text{ctg } 45^\circ = 1 $, то все произведение равно 1.

Ответ: 1