Номер 198, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Приведите к значению тригонометрической функции положительного аргумента, меньшего 45° (или $ \frac{\pi}{4} $):

1) $ \sin 104^{\circ} $;

2) $ \cos 250^{\circ} $;

3) $ \operatorname{tg} 285^{\circ} $;

4) $ \operatorname{ctg}(-108^{\circ}) $;

5) $ \sin 1,6\pi $;

6) $ \cos \left(-\frac{7\pi}{11}\right) $;

7) $ \operatorname{ctg} 2,4\pi $;

8) $ \sin \frac{32\pi}{7} $.

1) sin 104°
Угол $104^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен. Используем формулу приведения $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha$:
$\sin 104^\circ = \sin(90^\circ + 14^\circ) = \cos 14^\circ$.
Аргумент $14^\circ$ удовлетворяет условию $0^\circ < 14^\circ < 45^\circ$.
Ответ: $\cos 14^\circ$

2) cos 250°
Угол $250^\circ$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Используем формулу приведения $\cos(270^\circ - \alpha) = -\sin \alpha$:
$\cos 250^\circ = \cos(270^\circ - 20^\circ) = -\sin 20^\circ$.
Аргумент $20^\circ$ удовлетворяет условию $0^\circ < 20^\circ < 45^\circ$.
Ответ: $-\sin 20^\circ$

3) tg 285°
Угол $285^\circ$ находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен. Используем формулу приведения $\text{tg}(270^\circ + \alpha) = -\text{ctg} \alpha$:
$\text{tg} 285^\circ = \text{tg}(270^\circ + 15^\circ) = -\text{ctg} 15^\circ$.
Аргумент $15^\circ$ удовлетворяет условию $0^\circ < 15^\circ < 45^\circ$.
Ответ: $-\text{ctg} 15^\circ$

4) ctg(–108°)
Котангенс — нечетная функция, поэтому $\text{ctg}(-108^\circ) = -\text{ctg}(108^\circ)$.
Угол $108^\circ$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. Используем формулу приведения $\text{ctg}(90^\circ + \alpha) = -\text{tg} \alpha$:
$-\text{ctg}(108^\circ) = -\text{ctg}(90^\circ + 18^\circ) = -(-\text{tg} 18^\circ) = \text{tg} 18^\circ$.
Аргумент $18^\circ$ удовлетворяет условию $0^\circ < 18^\circ < 45^\circ$.
Ответ: $\text{tg} 18^\circ$

5) sin 1,6π
Угол $1,6\pi$ находится в четвертой четверти ($1,5\pi < 1,6\pi < 2\pi$), где синус отрицателен. Используем формулу приведения $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin \alpha$:
$\sin 1,6\pi = \sin(2\pi - 0,4\pi) = -\sin 0,4\pi = -\sin \frac{2\pi}{5}$.
Так как $\frac{2\pi}{5} > \frac{\pi}{4}$, используем формулу $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$-\sin \frac{2\pi}{5} = -\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{5}) = -\cos(\frac{5\pi - 4\pi}{10}) = -\cos \frac{\pi}{10}$.
Аргумент $\frac{\pi}{10}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{\pi}{10} < \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\cos \frac{\pi}{10}$

6) cos(–7π/11)
Косинус — четная функция, поэтому $\cos(-\frac{7\pi}{11}) = \cos \frac{7\pi}{11}$.
Угол $\frac{7\pi}{11}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{11} < \pi$), где косинус отрицателен. Используем формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$:
$\cos \frac{7\pi}{11} = \cos(\pi - \frac{4\pi}{11}) = -\cos \frac{4\pi}{11}$.
Так как $\frac{4\pi}{11} > \frac{\pi}{4}$, используем формулу $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$-\cos \frac{4\pi}{11} = -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{11}) = -\sin(\frac{11\pi - 8\pi}{22}) = -\sin \frac{3\pi}{22}$.
Аргумент $\frac{3\pi}{22}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{3\pi}{22} < \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\sin \frac{3\pi}{22}$

7) ctg 2,4π
Используем периодичность котангенса (период $\pi$):
$\text{ctg} 2,4\pi = \text{ctg}(2\pi + 0,4\pi) = \text{ctg} 0,4\pi = \text{ctg} \frac{2\pi}{5}$.
Так как $\frac{2\pi}{5} > \frac{\pi}{4}$, используем формулу $\text{ctg} \alpha = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$\text{ctg} \frac{2\pi}{5} = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{5}) = \text{tg}(\frac{5\pi - 4\pi}{10}) = \text{tg} \frac{\pi}{10}$.
Аргумент $\frac{\pi}{10}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{\pi}{10} < \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\text{tg} \frac{\pi}{10}$

8) sin(32π/7)
Используем периодичность синуса (период $2\pi$):
$\sin \frac{32\pi}{7} = \sin(\frac{28\pi + 4\pi}{7}) = \sin(4\pi + \frac{4\pi}{7}) = \sin \frac{4\pi}{7}$.
Угол $\frac{4\pi}{7}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{7} < \pi$), где синус положителен. Используем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$:
$\sin \frac{4\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{7}) = \sin \frac{3\pi}{7}$.
Так как $\frac{3\pi}{7} > \frac{\pi}{4}$, используем формулу $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$\sin \frac{3\pi}{7} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{7}) = \cos(\frac{7\pi - 6\pi}{14}) = \cos \frac{\pi}{14}$.
Аргумент $\frac{\pi}{14}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{\pi}{14} < \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\cos \frac{\pi}{14}$