Номер 219, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

219. Упростите выражение:

1) $\frac{(\sin \alpha + \sin 5\alpha)(\cos 5\alpha - \cos \alpha)}{1 - \cos 6\alpha}$;

2) $\left(\frac{\sin 2\alpha}{\sin 3\alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\cos 3\alpha}\right) \cdot \frac{\sin 4\alpha + \sin 8\alpha}{\sin \alpha}$;

3) $(\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2$.

1) Для упрощения выражения $ \frac{(\sin\alpha + \sin5\alpha)(\cos5\alpha - \cos\alpha)}{1 - \cos6\alpha} $ воспользуемся формулами преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение, а также формулой понижения степени.
Формула суммы синусов: $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.
Формула разности косинусов: $ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $.
Формула для знаменателя (следствие из формулы косинуса двойного угла): $ 1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2\theta $.

Преобразуем множители в числителе:
$ \sin\alpha + \sin5\alpha = 2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-5\alpha}{2} = 2\sin(3\alpha)\cos(-2\alpha) = 2\sin(3\alpha)\cos(2\alpha) $.
$ \cos5\alpha - \cos\alpha = -2\sin\frac{5\alpha+\alpha}{2}\sin\frac{5\alpha-\alpha}{2} = -2\sin(3\alpha)\sin(2\alpha) $.
Произведение этих выражений дает числитель:
$ (2\sin(3\alpha)\cos(2\alpha))(-2\sin(3\alpha)\sin(2\alpha)) = -4\sin^2(3\alpha)\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) $.
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, получаем $ \sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(4\alpha) $.
Тогда числитель равен: $ -4\sin^2(3\alpha) \cdot \frac{1}{2}\sin(4\alpha) = -2\sin^2(3\alpha)\sin(4\alpha) $.

Преобразуем знаменатель, полагая $ 6\alpha = 2 \cdot (3\alpha) $:
$ 1 - \cos6\alpha = 2\sin^2(3\alpha) $.

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:
$ \frac{-2\sin^2(3\alpha)\sin(4\alpha)}{2\sin^2(3\alpha)} = -\sin(4\alpha) $.

Ответ: $ -\sin(4\alpha) $

2) Рассмотрим выражение $ \left(\frac{\sin2\alpha}{\sin3\alpha} - \frac{\cos2\alpha}{\cos3\alpha}\right) \cdot \frac{\sin4\alpha + \sin8\alpha}{\sin\alpha} $.
Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:
$ \frac{\sin2\alpha}{\sin3\alpha} - \frac{\cos2\alpha}{\cos3\alpha} = \frac{\sin2\alpha\cos3\alpha - \cos2\alpha\sin3\alpha}{\sin3\alpha\cos3\alpha} $.
Числитель полученной дроби соответствует формуле синуса разности $ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $:
$ \sin2\alpha\cos3\alpha - \cos2\alpha\sin3\alpha = \sin(2\alpha - 3\alpha) = \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $.
Знаменатель можно преобразовать по формуле синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $:
$ \sin3\alpha\cos3\alpha = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3\alpha) = \frac{1}{2}\sin(6\alpha) $.
Таким образом, выражение в скобках равно: $ \frac{-\sin\alpha}{\frac{1}{2}\sin(6\alpha)} = \frac{-2\sin\alpha}{\sin(6\alpha)} $.

Теперь упростим вторую дробь, используя формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:
$ \sin4\alpha + \sin8\alpha = 2\sin\frac{4\alpha+8\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-8\alpha}{2} = 2\sin(6\alpha)\cos(-2\alpha) = 2\sin(6\alpha)\cos(2\alpha) $.
Вторая дробь равна: $ \frac{2\sin(6\alpha)\cos(2\alpha)}{\sin\alpha} $.

Перемножим полученные упрощенные выражения:
$ \left(\frac{-2\sin\alpha}{\sin(6\alpha)}\right) \cdot \left(\frac{2\sin(6\alpha)\cos(2\alpha)}{\sin\alpha}\right) = \frac{-2\sin\alpha \cdot 2\sin(6\alpha)\cos(2\alpha)}{\sin(6\alpha) \cdot \sin\alpha} $.
Сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе ($ \sin\alpha $ и $ \sin(6\alpha) $), получаем:
$ -2 \cdot 2 \cos(2\alpha) = -4\cos(2\alpha) $.

Ответ: $ -4\cos(2\alpha) $

3) Для упрощения выражения $ (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 $ можно раскрыть скобки или использовать формулы преобразования разности в произведение.
Способ 1: Раскрытие скобок.
$ (\cos\alpha - \cos\beta)^2 = \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta $.
$ (\sin\alpha - \sin\beta)^2 = \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta $.
Складываем эти два выражения:
$ (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2\beta + \sin^2\beta) - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $ и формулу косинуса разности $ \cos(x-y) = \cos x\cos y + \sin x\sin y $, получаем:
$ 1 + 1 - 2\cos(\alpha-\beta) = 2 - 2\cos(\alpha-\beta) = 2(1 - \cos(\alpha-\beta)) $.
Используя формулу $ 1 - \cos(2x) = 2\sin^2x $, заменим $ 2x = \alpha-\beta $, тогда $ x = \frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ 2 \left( 2\sin^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \right) = 4\sin^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $.

Способ 2: Преобразование в произведение.
$ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Возводим в квадрат и складываем:
$ \left(-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right)^2 + \left(2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right)^2 = $
$ = 4\sin^2\frac{\alpha+\beta}{2}\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2} + 4\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Выносим общий множитель $ 4\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2} $ за скобки:
$ 4\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2} \left(\sin^2\frac{\alpha+\beta}{2} + \cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}\right) $.
Так как выражение в скобках равно 1, получаем: $ 4\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Ответ: $ 4\sin^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $