Номер 227, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

227. Найдите все корни уравнения $\cos \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, удовлетворяющие неравенству $-\frac{\pi}{16} < x < \frac{7\pi}{16}$.

Сначала решим уравнение $ \cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ в общем виде.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \cos(t) = a $. Его решение записывается в виде $ t = \pm\arccos(a) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ t = 4x - \frac{\pi}{3} $ и $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Мы знаем, что $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.

Следовательно, получаем:

$ 4x - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k $

Разобьем это на два отдельных случая.

Случай 1:

$ 4x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $

Перенесем $ \frac{\pi}{3} $ в правую часть:

$ 4x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k $

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$ 4x = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} + 2\pi k $

$ 4x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k $

Разделим обе части уравнения на 4:

$ x = \frac{7\pi}{48} + \frac{2\pi k}{4} $

$ x = \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi k}{2} $

Случай 2:

$ 4x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $

Перенесем $ \frac{\pi}{3} $ в правую часть:

$ 4x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k $

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$ 4x = -\frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} + 2\pi k $

$ 4x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k $

Разделим обе части уравнения на 4:

$ x = \frac{\pi}{48} + \frac{2\pi k}{4} $

$ x = \frac{\pi}{48} + \frac{\pi k}{2} $

Теперь нам нужно найти все корни, удовлетворяющие неравенству $ -\frac{\pi}{16} < x < \frac{7\pi}{16} $. Для этого подставим полученные серии корней в это неравенство и найдем подходящие целые значения $ k $.

Для удобства сравнения приведем границы интервала к знаменателю 48:

$ -\frac{\pi}{16} = -\frac{3\pi}{48} $

$ \frac{7\pi}{16} = \frac{21\pi}{48} $

Таким образом, искомый интервал: $ -\frac{3\pi}{48} < x < \frac{21\pi}{48} $.

Отбор корней для первой серии $ x = \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi k}{2} $:

$ -\frac{3\pi}{48} < \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi k}{2} < \frac{21\pi}{48} $

Разделим все части неравенства на $ \pi $ и умножим на 48:

$ -3 < 7 + 24k < 21 $

Вычтем 7 из всех частей:

$ -10 < 24k < 14 $

Разделим на 24:

$ -\frac{10}{24} < k < \frac{14}{24} $ или $ -\frac{5}{12} < k < \frac{7}{12} $

Единственное целое число $ k $, удовлетворяющее этому неравенству, это $ k = 0 $.

При $ k = 0 $ получаем корень: $ x = \frac{7\pi}{48} $.

Отбор корней для второй серии $ x = \frac{\pi}{48} + \frac{\pi k}{2} $:

$ -\frac{3\pi}{48} < \frac{\pi}{48} + \frac{\pi k}{2} < \frac{21\pi}{48} $

Разделим все части неравенства на $ \pi $ и умножим на 48:

$ -3 < 1 + 24k < 21 $

Вычтем 1 из всех частей:

$ -4 < 24k < 20 $

Разделим на 24:

$ -\frac{4}{24} < k < \frac{20}{24} $ или $ -\frac{1}{6} < k < \frac{5}{6} $

Единственное целое число $ k $, удовлетворяющее этому неравенству, это $ k = 0 $.

При $ k = 0 $ получаем корень: $ x = \frac{\pi}{48} $.

В итоге, в заданном интервале находятся два корня.

Ответ: $ \frac{\pi}{48}, \frac{7\pi}{48} $.