Номер 232, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

232. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3} \cos x + \sin x = \sqrt{2}$;

2) $\sqrt{2} \cos x - \sqrt{2} \sin x = 1$;

3) $\sin x - \cos x = -\sqrt{2}.$

1) $\sqrt{3} \cos x + \sin x = \sqrt{2}$

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a \cos x + b \sin x = c$. Для его решения применим метод введения вспомогательного угла. Коэффициенты при тригонометрических функциях: $a = \sqrt{3}$, $b = 1$.

Вычислим значение $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{1}{2}$ являются косинусом и синусом угла $\frac{\pi}{6}$ соответственно, то есть $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{6}) \cos x + \sin(\frac{\pi}{6}) \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Применим формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$:

$\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения находятся по формуле:

$x - \frac{\pi}{6} = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Рассмотрим два случая:

1) $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi + 2\pi}{12} + 2\pi k = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$.

2) $x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{-3\pi + 2\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k, x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{2} \cos x - \sqrt{2} \sin x = 1$

Это линейное тригонометрическое уравнение. Коэффициенты: $a = \sqrt{2}$, $b = -\sqrt{2}$.

Вычислим значение $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \frac{1}{2}$

Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{4}) \cos x - \sin(\frac{\pi}{4}) \sin x = \frac{1}{2}$

Применим формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$:

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения:

$x + \frac{\pi}{4} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Рассмотрим два случая:

1) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{4\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$.

2) $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{-4\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k, x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin x - \cos x = -\sqrt{2}$

Перепишем уравнение в стандартном виде: $-\cos x + \sin x = -\sqrt{2}$.

Коэффициенты: $a = -1$, $b = 1$.

Вычислим значение $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = -1$

Перегруппируем слагаемые: $\sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -1$.

Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = -1$

Применим формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решение:

$x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{2\pi - \pi}{4} + 2\pi k = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.