Номер 235, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

235. При каких значениях a имеет решения уравнение:

1) $\sin x = 9 - a;$

2) $(a^2 - 9)\sin x = a - 3;$

3) $\sin x = 4a - a^2 - 5?$

1) Уравнение $\sin x = 9 - a$ имеет решения, когда значение выражения в правой части принадлежит отрезку $[-1; 1]$, так как это область значений функции синуса. Следовательно, должно выполняться двойное неравенство:
$-1 \le 9 - a \le 1$
Вычтем 9 из всех частей неравенства:
$-1 - 9 \le -a \le 1 - 9$
$-10 \le -a \le -8$
Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$10 \ge a \ge 8$
Это можно записать в виде:
$8 \le a \le 10$
Таким образом, уравнение имеет решения при $a \in [8; 10]$.
Ответ: $a \in [8; 10]$.

2) Рассмотрим уравнение $(a^2 - 9)\sin x = a - 3$. Возможны два случая.
Случай 1: Коэффициент при $\sin x$ не равен нулю, то есть $a^2 - 9 \ne 0$, что равносильно $a \ne 3$ и $a \ne -3$.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на $a^2 - 9$:
$\sin x = \frac{a - 3}{a^2 - 9} = \frac{a - 3}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{1}{a + 3}$
Это уравнение имеет решения, если $-1 \le \frac{1}{a + 3} \le 1$.
Данное двойное неравенство эквивалентно неравенству $|\frac{1}{a+3}| \le 1$, что равносильно $|a+3| \ge 1$ (при условии $a+3 \ne 0$).
Раскроем модуль:
$a+3 \ge 1$ или $a+3 \le -1$
$a \ge -2$ или $a \le -4$
Таким образом, в этом случае решения существуют при $a \in (-\infty; -4] \cup [-2; +\infty)$.
Случай 2: Коэффициент при $\sin x$ равен нулю, то есть $a^2 - 9 = 0$. Это происходит при $a = 3$ или $a = -3$.
- Если $a = 3$, уравнение принимает вид: $(3^2 - 9)\sin x = 3 - 3$, то есть $0 \cdot \sin x = 0$. Это верное равенство $0 = 0$ для любого значения $x$. Следовательно, при $a = 3$ уравнение имеет бесконечно много решений.
- Если $a = -3$, уравнение принимает вид: $((-3)^2 - 9)\sin x = -3 - 3$, то есть $0 \cdot \sin x = -6$. Равенство $0 = -6$ неверно, поэтому при $a = -3$ уравнение решений не имеет.
Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что решения существуют для $a \in (-\infty; -4] \cup [-2; +\infty)$. Заметим, что значение $a=3$ входит в промежуток $[-2; +\infty)$, а значение $a=-3$ не входит в полученное множество.
Ответ: $a \in (-\infty; -4] \cup [-2; +\infty)$.

3) Уравнение $\sin x = 4a - a^2 - 5$ имеет решения, если правая часть принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
$-1 \le 4a - a^2 - 5 \le 1$
Решим эту систему из двух неравенств:
1) $4a - a^2 - 5 \ge -1$
$-a^2 + 4a - 4 \ge 0$
$a^2 - 4a + 4 \le 0$
$(a - 2)^2 \le 0$
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(a-2)^2$ не может быть меньше нуля. Единственная возможность — это равенство нулю: $(a-2)^2 = 0$, откуда $a=2$.
2) $4a - a^2 - 5 \le 1$
$-a^2 + 4a - 6 \le 0$
$a^2 - 4a + 6 \ge 0$
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $a^2 - 4a + 6$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$.
Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент положителен (равен 1), то квадратный трехчлен $a^2 - 4a + 6$ положителен при любых значениях $a$. Таким образом, это неравенство выполняется для всех $a \in (-\infty; +\infty)$.
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $a=2$ и $a \in (-\infty; +\infty)$. Пересечением является $a=2$.
Ответ: $a = 2$.