Номер 228, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

228. При каких значениях $a$ уравнение имеет решения:

1) $\cos x = a - 5$;

2) $\cos x = a^2 - 6a + 10$;

3) $(a + 3)\cos x = a - 4?$

Основное условие, при котором уравнение вида $cos x = f(a)$ имеет решения, заключается в том, что значение функции $f(a)$ должно находиться в области значений функции косинуса, то есть $f(a) \in [-1; 1]$. Это равносильно двойному неравенству $-1 \le f(a) \le 1$.

1) $cos x = a - 5$

Уравнение имеет решения, если правая часть принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Составим и решим двойное неравенство:
$-1 \le a - 5 \le 1$
Прибавим 5 ко всем частям неравенства, чтобы выделить $a$:
$-1 + 5 \le a - 5 + 5 \le 1 + 5$
$4 \le a \le 6$
Следовательно, уравнение имеет решения при $a \in [4; 6]$.

Ответ: $a \in [4; 6]$.

2) $cos x = a^2 - 6a + 10$

Аналогично первому пункту, правая часть уравнения должна принадлежать отрезку $[-1; 1]$:
$-1 \le a^2 - 6a + 10 \le 1$
Это двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств:
$\begin{cases} a^2 - 6a + 10 \ge -1 \\ a^2 - 6a + 10 \le 1 \end{cases}$
Решим первое неравенство системы:
$a^2 - 6a + 11 \ge 0$
Выделим полный квадрат в левой части:
$(a^2 - 6a + 9) + 2 \ge 0$
$(a - 3)^2 + 2 \ge 0$
Так как $(a - 3)^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, то $(a - 3)^2 + 2$ всегда будет больше или равно 2, а значит, неравенство выполняется для всех $a \in (-\infty; +\infty)$.
Решим второе неравенство системы:
$a^2 - 6a + 9 \le 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности:
$(a - 3)^2 \le 0$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому единственное возможное решение — это когда он равен нулю:
$(a - 3)^2 = 0 \implies a - 3 = 0 \implies a = 3$
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, то есть $a = 3$.

Ответ: $a = 3$.

3) $(a + 3)cos x = a - 4$

Рассмотрим два случая.
Случай 1: Коэффициент при $cos x$ равен нулю.
$a + 3 = 0 \implies a = -3$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$(-3 + 3)cos x = -3 - 4$
$0 \cdot cos x = -7$
$0 = -7$
Получено неверное равенство, значит при $a = -3$ уравнение решений не имеет.
Случай 2: Коэффициент при $cos x$ не равен нулю.
$a + 3 \ne 0 \implies a \ne -3$.
В этом случае можно выразить $cos x$:
$cos x = \frac{a - 4}{a + 3}$
Уравнение будет иметь решения, если правая часть принадлежит отрезку $[-1; 1]$:
$-1 \le \frac{a - 4}{a + 3} \le 1$
Решим эту систему неравенств:
$\begin{cases} \frac{a - 4}{a + 3} \ge -1 \\ \frac{a - 4}{a + 3} \le 1 \end{cases}$
Решение первого неравенства:
$\frac{a - 4}{a + 3} + 1 \ge 0 \implies \frac{a - 4 + a + 3}{a + 3} \ge 0 \implies \frac{2a - 1}{a + 3} \ge 0$
Методом интервалов получаем: $a \in (-\infty; -3) \cup [0.5; +\infty)$.
Решение второго неравенства:
$\frac{a - 4}{a + 3} - 1 \le 0 \implies \frac{a - 4 - (a + 3)}{a + 3} \le 0 \implies \frac{-7}{a + 3} \le 0$
Дробь будет неположительной, если ее знаменатель будет положительным (так как числитель -7 отрицателен):
$a + 3 > 0 \implies a > -3$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $a \in ((-\infty; -3) \cup [0.5; +\infty)) \cap (-3; +\infty)$.
Пересечением является промежуток $a \in [0.5; +\infty)$.

Ответ: $a \in [0.5; +\infty)$.