Номер 239, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

239. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $\text{ctg}\left(8x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}$.

Для решения уравнения $ctg\left(8x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}$ воспользуемся общей формулой для уравнений вида $ctg(t) = a$, решением которой является $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in Z$).
В нашем случае $t = 8x - \frac{\pi}{4}$ и $a = \sqrt{3}$.
Значение арккотангенса от $\sqrt{3}$ равно $\frac{\pi}{6}$.
Подставим значения в формулу:
$8x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$.
Теперь выразим $x$. Для этого сначала перенесем $-\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения:
$8x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \pi n$
Приведем дроби $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{4}$ к общему знаменателю 12:
$8x = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + \pi n$
$8x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$
Разделим обе части уравнения на 8, чтобы найти $x$:
$x = \frac{5\pi}{12 \cdot 8} + \frac{\pi n}{8}$
$x = \frac{5\pi}{96} + \frac{\pi n}{8}$
Нам необходимо найти наибольший отрицательный корень. Это значит, что нам нужно найти такое наибольшее целое $n$, при котором значение $x$ будет отрицательным. Составим неравенство:
$\frac{5\pi}{96} + \frac{\pi n}{8} < 0$
Разделим обе части неравенства на $\pi$ (знак неравенства не изменится, так как $\pi > 0$):
$\frac{5}{96} + \frac{n}{8} < 0$
$\frac{n}{8} < -\frac{5}{96}$
Умножим обе части на 8:
$n < -\frac{5 \cdot 8}{96}$
$n < -\frac{40}{96}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:
$n < -\frac{5}{12}$
Поскольку $n$ должно быть целым числом, наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $n < -5/12$, — это $n = -1$.
Подставим $n = -1$ в формулу для $x$, чтобы найти искомый корень:
$x = \frac{5\pi}{96} + \frac{\pi(-1)}{8} = \frac{5\pi}{96} - \frac{\pi}{8}$
Приведем дроби к общему знаменателю 96:
$x = \frac{5\pi}{96} - \frac{12\pi}{96} = \frac{5\pi - 12\pi}{96} = -\frac{7\pi}{96}$
При $n=0$ корень $x = \frac{5\pi}{96}$ является положительным. При $n=-2$ корень $x = -\frac{19\pi}{96}$ будет меньше, чем $-\frac{7\pi}{96}$. Следовательно, $-\frac{7\pi}{96}$ — это наибольший отрицательный корень.

Ответ: $-\frac{7\pi}{96}$