Страница 93 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

239. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $\text{ctg}\left(8x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}$.

Для решения уравнения $ctg\left(8x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}$ воспользуемся общей формулой для уравнений вида $ctg(t) = a$, решением которой является $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in Z$).
В нашем случае $t = 8x - \frac{\pi}{4}$ и $a = \sqrt{3}$.
Значение арккотангенса от $\sqrt{3}$ равно $\frac{\pi}{6}$.
Подставим значения в формулу:
$8x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$.
Теперь выразим $x$. Для этого сначала перенесем $-\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения:
$8x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \pi n$
Приведем дроби $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{4}$ к общему знаменателю 12:
$8x = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + \pi n$
$8x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$
Разделим обе части уравнения на 8, чтобы найти $x$:
$x = \frac{5\pi}{12 \cdot 8} + \frac{\pi n}{8}$
$x = \frac{5\pi}{96} + \frac{\pi n}{8}$
Нам необходимо найти наибольший отрицательный корень. Это значит, что нам нужно найти такое наибольшее целое $n$, при котором значение $x$ будет отрицательным. Составим неравенство:
$\frac{5\pi}{96} + \frac{\pi n}{8} < 0$
Разделим обе части неравенства на $\pi$ (знак неравенства не изменится, так как $\pi > 0$):
$\frac{5}{96} + \frac{n}{8} < 0$
$\frac{n}{8} < -\frac{5}{96}$
Умножим обе части на 8:
$n < -\frac{5 \cdot 8}{96}$
$n < -\frac{40}{96}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:
$n < -\frac{5}{12}$
Поскольку $n$ должно быть целым числом, наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $n < -5/12$, — это $n = -1$.
Подставим $n = -1$ в формулу для $x$, чтобы найти искомый корень:
$x = \frac{5\pi}{96} + \frac{\pi(-1)}{8} = \frac{5\pi}{96} - \frac{\pi}{8}$
Приведем дроби к общему знаменателю 96:
$x = \frac{5\pi}{96} - \frac{12\pi}{96} = \frac{5\pi - 12\pi}{96} = -\frac{7\pi}{96}$
При $n=0$ корень $x = \frac{5\pi}{96}$ является положительным. При $n=-2$ корень $x = -\frac{19\pi}{96}$ будет меньше, чем $-\frac{7\pi}{96}$. Следовательно, $-\frac{7\pi}{96}$ — это наибольший отрицательный корень.

Ответ: $-\frac{7\pi}{96}$

240. Сколько решений уравнения $tg3x = 1$ принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$?

Для того чтобы найти количество решений уравнения на заданном промежутке, необходимо сначала найти общее решение уравнения, а затем отобрать те корни, которые попадают в указанный интервал.

1. Находим общее решение уравнения

Дано уравнение: $\tg(3x) = 1$.

Общее решение для уравнения вида $\tg(A) = a$ имеет вид $A = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $A = 3x$ и $a = 1$.
$3x = \operatorname{arctg}(1) + \pi k$

Так как $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$3x = \frac{\pi}{4} + \pi k$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Отбираем решения, принадлежащие промежутку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$

Мы должны найти все целые значения $k$, при которых найденные решения для $x$ удовлетворяют двойному неравенству:

$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$

Подставим выражение для $x$:
$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} \le \frac{\pi}{2}$

Для решения этого неравенства относительно $k$, сначала вычтем $\frac{\pi}{12}$ из всех его частей:
$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} \le \frac{\pi k}{3} \le \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}$

Приведем дроби в левой и правой частях к общему знаменателю 12:
$-\frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12} \le \frac{\pi k}{3} \le \frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12}$
$-\frac{7\pi}{12} \le \frac{\pi k}{3} \le \frac{5\pi}{12}$

Теперь умножим все части неравенства на $\frac{3}{\pi}$ (так как $\frac{3}{\pi} > 0$, знаки неравенства не меняются):
$-\frac{7\pi}{12} \cdot \frac{3}{\pi} \le k \le \frac{5\pi}{12} \cdot \frac{3}{\pi}$
$-\frac{7 \cdot 3}{12} \le k \le \frac{5 \cdot 3}{12}$
$-\frac{21}{12} \le k \le \frac{15}{12}$

Сократим дроби:
$-\frac{7}{4} \le k \le \frac{5}{4}$

Представим в виде десятичных дробей для наглядности:
$-1.75 \le k \le 1.25$

Поскольку $k$ должно быть целым числом, то в этот промежуток попадают следующие значения: $k = -1$, $k = 0$, $k = 1$.

Всего мы получили 3 целых значения для $k$. Каждое из них дает уникальное решение уравнения, принадлежащее заданному промежутку. Таким образом, количество решений равно 3.

Ответ: 3

241. Найдите:

1) arcsin $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) arccos $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) arctg $\sqrt{3}$;

4) arcctg $1$;

5) arcsin $\left(-\frac{1}{2}\right)$;

6) arccos $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

7) arctg $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$;

8) arcctg $(-\sqrt{3})$.

1) По определению арксинуса, $ \arcsin{a} $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $ a $. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \sin{\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $ \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Угол $ \frac{\pi}{3} $ принадлежит промежутку $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $. Следовательно, $ \arcsin{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\pi}{3} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{3} $

2) По определению арккосинуса, $ \arccos{a} $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ [0; \pi] $, косинус которого равен $ a $. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \cos{\alpha} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ 0 \le \alpha \le \pi $. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $ \cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Угол $ \frac{\pi}{4} $ принадлежит промежутку $ [0; \pi] $. Следовательно, $ \arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} $

3) По определению арктангенса, $ \operatorname{arctg}{a} $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $ a $. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \operatorname{tg}{\alpha} = \sqrt{3} $ и $ -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $ \operatorname{tg}{\frac{\pi}{3}} = \sqrt{3} $. Угол $ \frac{\pi}{3} $ принадлежит промежутку $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $. Следовательно, $ \operatorname{arctg}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{3} $

4) По определению арккотангенса, $ \operatorname{arcctg}{a} $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ (0; \pi) $, котангенс которого равен $ a $. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \operatorname{ctg}{\alpha} = 1 $ и $ 0 < \alpha < \pi $. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $ \operatorname{ctg}{\frac{\pi}{4}} = 1 $. Угол $ \frac{\pi}{4} $ принадлежит промежутку $ (0; \pi) $. Следовательно, $ \operatorname{arcctg}{1} = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} $

5) По определению арксинуса, $ \arcsin{a} $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $ a $. Также воспользуемся свойством нечетности арксинуса: $ \arcsin{(-a)} = -\arcsin{a} $.
$ \arcsin{(-\frac{1}{2})} = -\arcsin{(\frac{1}{2})} $.
Известно, что $ \sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2} $, значит $ \arcsin{(\frac{1}{2})} = \frac{\pi}{6} $.
Следовательно, $ \arcsin{(-\frac{1}{2})} = -\frac{\pi}{6} $. Угол $ -\frac{\pi}{6} $ принадлежит промежутку $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{6} $

6) По определению арккосинуса, $ \arccos{a} $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ [0; \pi] $, косинус которого равен $ a $. Воспользуемся свойством: $ \arccos{(-a)} = \pi - \arccos{a} $.
$ \arccos{(-\frac{\sqrt{3}}{2})} = \pi - \arccos{(\frac{\sqrt{3}}{2})} $.
Известно, что $ \cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, значит $ \arccos{(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{\pi}{6} $.
Следовательно, $ \arccos{(-\frac{\sqrt{3}}{2})} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $. Угол $ \frac{5\pi}{6} $ принадлежит промежутку $ [0; \pi] $.
Ответ: $ \frac{5\pi}{6} $

7) По определению арктангенса, $ \operatorname{arctg}{a} $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $ a $. Воспользуемся свойством нечетности арктангенса: $ \operatorname{arctg}{(-a)} = -\operatorname{arctg}{a} $.
$ \operatorname{arctg}{(-\frac{\sqrt{3}}{3})} = -\operatorname{arctg}{(\frac{\sqrt{3}}{3})} $.
Известно, что $ \operatorname{tg}{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $, значит $ \operatorname{arctg}{(\frac{\sqrt{3}}{3})} = \frac{\pi}{6} $.
Следовательно, $ \operatorname{arctg}{(-\frac{\sqrt{3}}{3})} = -\frac{\pi}{6} $. Угол $ -\frac{\pi}{6} $ принадлежит промежутку $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{6} $

8) По определению арккотангенса, $ \operatorname{arcctg}{a} $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ (0; \pi) $, котангенс которого равен $ a $. Воспользуемся свойством: $ \operatorname{arcctg}{(-a)} = \pi - \operatorname{arcctg}{a} $.
$ \operatorname{arcctg}{(-\sqrt{3})} = \pi - \operatorname{arcctg}{(\sqrt{3})} $.
Известно, что $ \operatorname{ctg}{\frac{\pi}{6}} = \sqrt{3} $, значит $ \operatorname{arcctg}{(\sqrt{3})} = \frac{\pi}{6} $.
Следовательно, $ \operatorname{arcctg}{(-\sqrt{3})} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $. Угол $ \frac{5\pi}{6} $ принадлежит промежутку $ (0; \pi) $.
Ответ: $ \frac{5\pi}{6} $

242. Найдите значение выражения:

1) $\arccos (-1) + \arcsin 0 + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \text{arctg } (-1);$

2) $2\arcsin 1 - 3\arccos 0 + 4\text{arcctg } \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 2\arccos \left(-\frac{1}{2}\right).$

1) $\arccos(-1) + \arcsin 0 + \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \operatorname{arctg}(-1)$

Для решения найдём значение каждого слагаемого по отдельности, используя определения обратных тригонометрических функций (аркфункций):

• $\arccos(-1)$ — это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $-1$. Этому условию соответствует угол $\pi$.
  $\arccos(-1) = \pi$
• $\arcsin 0$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $0$. Этому условию соответствует угол $0$.
  $\arcsin 0 = 0$
• $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этому условию соответствует угол $\frac{\pi}{3}$.
  $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$
• $\operatorname{arctg}(-1)$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $-1$. Этому условию соответствует угол $-\frac{\pi}{4}$.
  $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$

Теперь сложим полученные значения:

$\pi + 0 + \frac{\pi}{3} + (-\frac{\pi}{4}) = \pi + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{12\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{12\pi + 4\pi - 3\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$

Ответ: $\frac{13\pi}{12}$

2) $2\arcsin 1 - 3\arccos 0 + 4\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + 2\arccos(-\frac{1}{2})$

Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности:

• $2\arcsin 1$:
  $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$ (угол из $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $1$).
  $2\arcsin 1 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$
• $3\arccos 0$:
  $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$ (угол из $[0; \pi]$, косинус которого равен $0$).
  $3\arccos 0 = 3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$
• $4\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$:
  $\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$ — это угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Используем свойство $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x)$.
  $\operatorname{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.
  $\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
  $4\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = 4 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$
• $2\arccos(-\frac{1}{2})$:
  $\arccos(-\frac{1}{2})$ — это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$. Используем свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
  $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
  $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
  $2\arccos(-\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$

Теперь подставим все значения в исходное выражение и выполним вычисления:

$\pi - \frac{3\pi}{2} + \frac{8\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \pi - \frac{3\pi}{2} + \frac{12\pi}{3} = \pi - \frac{3\pi}{2} + 4\pi = 5\pi - \frac{3\pi}{2} = \frac{10\pi}{2} - \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$

Ответ: $\frac{7\pi}{2}$

243. Вычислите:

1) $\operatorname{tg}\left(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}\right);$

2) $\cos(2 \operatorname{arctg} 1);$

3) $\operatorname{tg}\left(5 \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{4} \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

4) $\sin\left(\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})+\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})+\arcsin \frac{1}{2}\right).$

1) Вычислим значение выражения $ \operatorname{tg}(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}) $.
Сначала найдем значение внутреннего выражения $ \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} $.
По определению арккосинуса, $ \arccos x $ — это угол $ \alpha $ из промежутка $ [0; \pi] $, для которого $ \cos \alpha = x $.
Нам нужно найти угол $ \alpha \in [0; \pi] $, такой что $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Этим углом является $ \frac{\pi}{4} $.
Следовательно, $ \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$ \operatorname{tg}(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) $.
Значение тангенса для угла $ \frac{\pi}{4} $ равно 1.
$ \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $.
Ответ: 1

2) Вычислим значение выражения $ \cos(2 \operatorname{arctg} 1) $.
Сначала найдем значение $ \operatorname{arctg} 1 $.
По определению арктангенса, $ \operatorname{arctg} x $ — это угол $ \alpha $ из промежутка $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, для которого $ \operatorname{tg} \alpha = x $.
Нам нужно найти угол $ \alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, такой что $ \operatorname{tg} \alpha = 1 $.
Этим углом является $ \frac{\pi}{4} $.
Следовательно, $ \operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4} $.
Подставим это значение в выражение:
$ \cos(2 \cdot \operatorname{arctg} 1) = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) $.
Значение косинуса для угла $ \frac{\pi}{2} $ равно 0.
$ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $.
Ответ: 0

3) Вычислим значение выражения $ \operatorname{tg}(5\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{4}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}) $.
Найдем значения аркфункций в скобках по отдельности.
1. $ \operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} $. Это угол из промежутка $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{3} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{6} $.
2. $ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} $. Это угол из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{3} $.
Подставим найденные значения в аргумент тангенса:
$ 5\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{4}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{12} $.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$ \frac{5\pi \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{\pi}{12} = \frac{10\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} $.
Сократим дробь: $ \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4} $.
Теперь вычислим значение исходного выражения:
$ \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4}) = -1 $.
Ответ: -1

4) Вычислим значение выражения $ \sin(\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) + \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \arcsin\frac{1}{2}) $.
Для вычисления суммы первых двух слагаемых в скобках воспользуемся тождеством: $ \operatorname{arctg}(x) + \operatorname{arcctg}(x) = \frac{\pi}{2} $.
При $ x = -\sqrt{3} $ получаем: $ \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) + \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{2} $.
Теперь найдем значение $ \arcsin\frac{1}{2} $.
По определению арксинуса, это угол из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $ \frac{1}{2} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{6} $.
Подставим найденные значения в аргумент синуса:
$ \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} $.
Приведем к общему знаменателю 6:
$ \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} $.
Теперь вычислим значение исходного выражения:
$ \sin(\frac{2\pi}{3}) $.
Поскольку $ \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} $, то $ \sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

244. Вычислите:

1) $ \sin(\arcsin(-0,2)) $

2) $ \cos\left(\arccos\frac{\pi}{5}\right) $

3) $ \cot(\operatorname{arcctg}\sqrt{3}) $

1) Вычислим значение выражения $ \sin(\arcsin(-0,2)) $.

По определению арксинуса, $ \arcsin(a) $ — это угол $ \alpha $, принадлежащий отрезку $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $ a $. Из этого определения следует тождество $ \sin(\arcsin(a)) = a $ для всех $ a $, удовлетворяющих условию $ |a| \le 1 $.

В нашем случае $ a = -0,2 $. Проверим условие: $ |-0,2| = 0,2 $, что меньше или равно 1. Условие выполняется.

Следовательно, применяя тождество, получаем:

$ \sin(\arcsin(-0,2)) = -0,2 $.

Ответ: $ -0,2 $.

2) Вычислим значение выражения $ \cos(\arccos\frac{\pi}{5}) $.

По определению арккосинуса, $ \arccos(a) $ — это угол $ \alpha $, принадлежащий отрезку $ [0; \pi] $, косинус которого равен $ a $. Из этого определения следует тождество $ \cos(\arccos(a)) = a $ для всех $ a $, удовлетворяющих условию $ |a| \le 1 $.

В нашем случае $ a = \frac{\pi}{5} $. Проверим, выполняется ли условие $ |a| \le 1 $. Используем приближенное значение $ \pi \approx 3,14159 $:

$ a = \frac{\pi}{5} \approx \frac{3,14159}{5} \approx 0,6283 $.

Так как $ -1 \le 0,6283 \le 1 $, условие выполняется.

Следовательно, применяя тождество, получаем:

$ \cos(\arccos\frac{\pi}{5}) = \frac{\pi}{5} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{5} $.

3) Вычислим значение выражения $ \text{ctg}(\text{arcctg}\sqrt{3}) $.

По определению арккотангенса, $ \text{arcctg}(a) $ — это угол $ \alpha $, принадлежащий интервалу $ (0; \pi) $, котангенс которого равен $ a $. Из этого определения следует тождество $ \text{ctg}(\text{arcctg}(a)) = a $ для любого действительного числа $ a $.

В нашем случае $ a = \sqrt{3} $. Это действительное число, поэтому тождество применимо.

Следовательно:

$ \text{ctg}(\text{arcctg}\sqrt{3}) = \sqrt{3} $.

Можно также решить, найдя значение арккотангенса. $ \text{arcctg}(\sqrt{3}) $ — это угол из интервала $ (0, \pi) $, котангенс которого равен $ \sqrt{3} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{6} $. Тогда $ \text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} $.

Ответ: $ \sqrt{3} $.