Страница 86 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

190. Упростите выражение:

1) $cos 6\alpha \cos 4\alpha - \sin 6\alpha \sin 4\alpha$

2) $\sin 14^\circ \cos 31^\circ + \cos 14^\circ \sin 31^\circ$

3) $\cos(24^\circ + \alpha)\cos(24^\circ - \alpha) + \sin(24^\circ + \alpha)\sin(24^\circ - \alpha);$

4) $\frac{\sin 21^\circ \cos 28^\circ + \cos 21^\circ \sin 28^\circ}{\cos 18^\circ \cos 31^\circ - \sin 18^\circ \sin 31^\circ};$

5) $\frac{\mathrm{tg}2^\circ - \mathrm{tg}47^\circ}{1 + \mathrm{tg}2^\circ\mathrm{tg}47^\circ};$

6) $\frac{\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)}{1 - \mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)};$

1) Данное выражение имеет вид $ \cos A \cos B - \sin A \sin B $, что соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $.
В данном случае $ A = 6\alpha $ и $ B = 4\alpha $.
Применим формулу: $ \cos 6\alpha \cos 4\alpha - \sin 6\alpha \sin 4\alpha = \cos(6\alpha + 4\alpha) = \cos(10\alpha) $.
Ответ: $ \cos(10\alpha) $.

2) Данное выражение имеет вид $ \sin A \cos B + \cos A \sin B $, что соответствует формуле синуса суммы двух углов: $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.
В данном случае $ A = 14^\circ $ и $ B = 31^\circ $.
Применим формулу: $ \sin 14^\circ \cos 31^\circ + \cos 14^\circ \sin 31^\circ = \sin(14^\circ + 31^\circ) = \sin(45^\circ) $.
Значение $ \sin(45^\circ) $ равно $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

3) Данное выражение имеет вид $ \cos A \cos B + \sin A \sin B $, что соответствует формуле косинуса разности двух углов: $ \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.
В данном случае $ A = 24^\circ + \alpha $ и $ B = 24^\circ - \alpha $.
Применим формулу: $ \cos((24^\circ + \alpha) - (24^\circ - \alpha)) = \cos(24^\circ + \alpha - 24^\circ + \alpha) = \cos(2\alpha) $.
Ответ: $ \cos(2\alpha) $.

4) Рассмотрим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $ \sin 21^\circ \cos 28^\circ + \cos 21^\circ \sin 28^\circ $. Это формула синуса суммы: $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.
$ \sin(21^\circ + 28^\circ) = \sin(49^\circ) $.
Знаменатель: $ \cos 18^\circ \cos 31^\circ - \sin 18^\circ \sin 31^\circ $. Это формула косинуса суммы: $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $.
$ \cos(18^\circ + 31^\circ) = \cos(49^\circ) $.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $ \frac{\sin(49^\circ)}{\cos(49^\circ)} = \operatorname{tg}(49^\circ) $.
Ответ: $ \operatorname{tg}(49^\circ) $.

5) Данное выражение имеет вид $ \frac{\operatorname{tg} A - \operatorname{tg} B}{1 + \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B} $, что соответствует формуле тангенса разности двух углов: $ \operatorname{tg}(A-B) = \frac{\operatorname{tg} A - \operatorname{tg} B}{1 + \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B} $.
В данном случае $ A = 2^\circ $ и $ B = 47^\circ $.
Применим формулу: $ \frac{\operatorname{tg} 2^\circ - \operatorname{tg} 47^\circ}{1 + \operatorname{tg} 2^\circ \operatorname{tg} 47^\circ} = \operatorname{tg}(2^\circ - 47^\circ) = \operatorname{tg}(-45^\circ) $.
Так как тангенс — нечетная функция, $ \operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x) $, то $ \operatorname{tg}(-45^\circ) = -\operatorname{tg}(45^\circ) = -1 $.
Ответ: -1.

6) Данное выражение имеет вид $ \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 - \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B} $, что соответствует формуле тангенса суммы двух углов: $ \operatorname{tg}(A+B) = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 - \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B} $.
В данном случае $ A = \frac{\pi}{6} + \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{6} - \alpha $.
Применим формулу: $ \operatorname{tg}\left(\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6} + \alpha + \frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \operatorname{tg}\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) $.
Значение $ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) $ равно $ \sqrt{3} $.
Ответ: $ \sqrt{3} $.

191. Докажите тождество:

1) $ctg \alpha - tg \beta = \frac{cos(\alpha + \beta)}{sin \alpha cos \beta}$;

2) $\frac{sin(\alpha + \beta) - 2 cos \alpha sin \beta}{2 cos \alpha cos \beta - cos(\alpha + \beta)} = tg (\alpha - \beta)$;

3) $sin 2\alpha + cos 2\alpha ctg \alpha = ctg \alpha$.

1) Докажем тождество $ \ctg\alpha - \tg\beta = \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin\alpha\cos\beta} $.

Преобразуем левую часть равенства, используя определения котангенса и тангенса:

$ \ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $

$ \tg\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} $

Подставим эти выражения в левую часть:

$ \ctg\alpha - \tg\beta = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin\alpha\cos\beta $:

$ \frac{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta} $

Числитель дроби представляет собой формулу косинуса суммы: $ \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha + \beta) $.

Таким образом, левая часть равна:

$ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin\alpha\cos\beta} $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $ \frac{\sin(\alpha + \beta) - 2\cos\alpha\sin\beta}{2\cos\alpha\cos\beta - \cos(\alpha + \beta)} = \tg(\alpha - \beta) $.

Преобразуем числитель и знаменатель левой части, используя формулы синуса и косинуса суммы:

$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $

Преобразуем числитель:

$ \sin(\alpha + \beta) - 2\cos\alpha\sin\beta = (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) - 2\cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $

Полученное выражение является формулой синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) $.

Преобразуем знаменатель:

$ 2\cos\alpha\cos\beta - \cos(\alpha + \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta - (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta - \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $

Полученное выражение является формулой косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) $.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$ \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} $

По определению тангенса, $ \frac{\sin x}{\cos x} = \tg x $, следовательно:

$ \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \tg(\alpha - \beta) $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $ \sin 2\alpha + \cos 2\alpha \ctg\alpha = \ctg\alpha $.

Преобразуем левую часть равенства. Заменим $ \ctg\alpha $ на $ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $:

$ \sin 2\alpha + \cos 2\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $

Приведем выражение к общему знаменателю $ \sin\alpha $:

$ \frac{\sin 2\alpha \sin\alpha + \cos 2\alpha \cos\alpha}{\sin\alpha} $

Рассмотрим числитель. Выражение $ \cos 2\alpha \cos\alpha + \sin 2\alpha \sin\alpha $ является формулой косинуса разности $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $, где $ A = 2\alpha $ и $ B = \alpha $.

$ \cos 2\alpha \cos\alpha + \sin 2\alpha \sin\alpha = \cos(2\alpha - \alpha) = \cos\alpha $

Подставим полученное выражение обратно в числитель дроби:

$ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $

По определению котангенса, $ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \ctg\alpha $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

192. Преобразуйте в произведение:

1) $tg63^\circ - tg18^\circ$;

2) $tg14\varphi + ctg2\varphi$;

3) $tg\left(\frac{\pi}{6} - 2\alpha\right) + tg\left(\frac{\pi}{3} + 2\alpha\right)$;

4) $\frac{\sqrt{3}}{3} + tg\alpha$.

1) Для преобразования разности тангенсов $tg63^\circ - tg18^\circ$ в произведение воспользуемся формулой разности тангенсов:

$tg\alpha - tg\beta = \frac{sin(\alpha - \beta)}{cos\alpha \cdot cos\beta}$

В нашем случае $\alpha = 63^\circ$ и $\beta = 18^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$tg63^\circ - tg18^\circ = \frac{sin(63^\circ - 18^\circ)}{cos63^\circ \cdot cos18^\circ}$

Вычислим разность углов в числителе:

$63^\circ - 18^\circ = 45^\circ$

Таким образом, исходное выражение преобразуется в следующее произведение:

$\frac{sin45^\circ}{cos63^\circ \cdot cos18^\circ}$

Поскольку $sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, можно записать ответ в виде:

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{cos63^\circ \cdot cos18^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2cos63^\circ \cdot cos18^\circ}$

Ответ: $\frac{sin45^\circ}{cos63^\circ \cdot cos18^\circ}$

2) Чтобы преобразовать сумму $tg14\varphi + ctg2\varphi$ в произведение, сначала представим тангенс и котангенс через синус и косинус, а затем приведем к общему знаменателю.

$tg14\varphi + ctg2\varphi = \frac{sin14\varphi}{cos14\varphi} + \frac{cos2\varphi}{sin2\varphi}$

Приводим дроби к общему знаменателю $cos14\varphi \cdot sin2\varphi$:

$\frac{sin14\varphi \cdot sin2\varphi + cos14\varphi \cdot cos2\varphi}{cos14\varphi \cdot sin2\varphi}$

В числителе мы видим формулу косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$.

Применив эту формулу для $\alpha = 14\varphi$ и $\beta = 2\varphi$, получаем:

$sin14\varphi \cdot sin2\varphi + cos14\varphi \cdot cos2\varphi = cos(14\varphi - 2\varphi) = cos12\varphi$

Таким образом, итоговое выражение имеет вид:

$\frac{cos12\varphi}{cos14\varphi \cdot sin2\varphi}$

Ответ: $\frac{cos12\varphi}{cos14\varphi \cdot sin2\varphi}$

3) Для преобразования суммы тангенсов $tg(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) + tg(\frac{\pi}{3} + 2\alpha)$ воспользуемся формулой суммы тангенсов:

$tgx + tgy = \frac{sin(x + y)}{cosx \cdot cosy}$

Пусть $x = \frac{\pi}{6} - 2\alpha$ и $y = \frac{\pi}{3} + 2\alpha$. Найдем сумму аргументов:

$x + y = (\frac{\pi}{6} - 2\alpha) + (\frac{\pi}{3} + 2\alpha) = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

Тогда числитель дроби равен $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{cos(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) \cdot cos(\frac{\pi}{3} + 2\alpha)}$

Упростим знаменатель, используя формулу приведения: $cos(\frac{\pi}{3} + 2\alpha) = cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\alpha) = cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} - 2\alpha)) = sin(\frac{\pi}{6} - 2\alpha)$.

Знаменатель становится произведением синуса и косинуса одного и того же угла: $cos(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) \cdot sin(\frac{\pi}{6} - 2\alpha)$.

Применим формулу синуса двойного угла $sin(2\theta) = 2sin\theta \cdot cos\theta$, откуда $sin\theta \cdot cos\theta = \frac{1}{2}sin(2\theta)$:

$cos(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) \cdot sin(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) = \frac{1}{2}sin(2(\frac{\pi}{6} - 2\alpha)) = \frac{1}{2}sin(\frac{\pi}{3} - 4\alpha)$

Подставляем это в наше выражение:

$\frac{1}{\frac{1}{2}sin(\frac{\pi}{3} - 4\alpha)} = \frac{2}{sin(\frac{\pi}{3} - 4\alpha)}$

Ответ: $\frac{2}{sin(\frac{\pi}{3} - 4\alpha)}$

4) Чтобы преобразовать сумму $\frac{\sqrt{3}}{3} + tg\alpha$ в произведение, представим число $\frac{\sqrt{3}}{3}$ как тангенс известного угла.

Известно, что $tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ (или $tg30^\circ$).

Тогда исходное выражение можно записать как $tg\frac{\pi}{6} + tg\alpha$.

Воспользуемся формулой суммы тангенсов:

$tgx + tgy = \frac{sin(x + y)}{cosx \cdot cosy}$

В нашем случае $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$. Подставляем в формулу:

$tg\frac{\pi}{6} + tg\alpha = \frac{sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)}{cos\frac{\pi}{6} \cdot cos\alpha}$

Значение косинуса $cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем это значение в знаменатель:

$\frac{sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot cos\alpha} = \frac{2sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)}{\sqrt{3}cos\alpha}$

Ответ: $\frac{2sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)}{\sqrt{3}cos\alpha}$

193. Чтобы найти значение $ctg75^\circ$, представим угол $75^\circ$ в виде суммы двух стандартных углов, значения тригонометрических функций которых известны. Например, $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.

Воспользуемся формулой котангенса суммы двух углов:

$ctg(\alpha + \beta) = \frac{ctg\alpha \cdot ctg\beta - 1}{ctg\alpha + ctg\beta}$

В нашем случае $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$.

Нам известны значения котангенсов этих углов:

$ctg45^\circ = 1$

$ctg30^\circ = \sqrt{3}$

Подставим эти значения в формулу:

$ctg75^\circ = ctg(45^\circ + 30^\circ) = \frac{ctg45^\circ \cdot ctg30^\circ - 1}{ctg45^\circ + ctg30^\circ} = \frac{1 \cdot \sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{3} - 1)$:

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}$

Сократим дробь на 2:

$\frac{2(2 - \sqrt{3})}{2} = 2 - \sqrt{3}$

Ответ: $2 - \sqrt{3}$

193. Найдите $ \operatorname{ctg} 75^\circ $.

Для того чтобы найти значение $ctg 75°$, представим угол $75°$ в виде суммы двух стандартных углов, для которых известны значения тригонометрических функций. Например, $75° = 45° + 30°$.

Воспользуемся формулой котангенса суммы двух углов:

$ctg(\alpha + \beta) = \frac{ctg\alpha \cdot ctg\beta - 1}{ctg\alpha + ctg\beta}$

Подставим в эту формулу $\alpha = 45°$ и $\beta = 30°$:

$ctg 75° = ctg(45° + 30°) = \frac{ctg 45° \cdot ctg 30° - 1}{ctg 45° + ctg 30°}$

Мы знаем значения котангенсов для углов $45°$ и $30°$:

$ctg 45° = 1$

$ctg 30° = \sqrt{3}$

Теперь подставим эти значения в нашу формулу:

$ctg 75° = \frac{1 \cdot \sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{3} - 1)$:

$ctg 75° = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$

Раскроем скобки в числителе по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а в знаменателе используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$ctg 75° = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2}{3 - 1} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}$

Сократим полученную дробь, вынеся общий множитель 2 в числителе:

$ctg 75° = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{2} = 2 - \sqrt{3}$

Ответ: $2 - \sqrt{3}$

194. Дано: $ \cos\alpha = -\frac{5}{13} $, $ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $. Найдите $ \cos(\alpha + 45^\circ) $.

Для того чтобы найти значение выражения $\cos(\alpha + 45^\circ)$, воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

В данном случае $\beta = 45^\circ$. Подставив это значение в формулу, получим:

$\cos(\alpha + 45^\circ) = \cos\alpha \cos45^\circ - \sin\alpha \sin45^\circ$

Из условия задачи нам известно значение $\cos\alpha = -\frac{5}{13}$. Значения косинуса и синуса для угла $45^\circ$ являются табличными: $\cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для полного решения нам необходимо найти значение $\sin\alpha$. Для этого используем основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Выразим из этого тождества $\sin^2\alpha$:

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$

Подставим известное значение $\cos\alpha$:

$\sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$

Теперь найдём $\sin\alpha$, извлекая квадратный корень:

$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$

Чтобы определить знак $\sin\alpha$, обратимся к условию $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Этот диапазон углов соответствует второй координатной четверти, в которой синус имеет положительное значение. Следовательно:

$\sin\alpha = \frac{12}{13}$

Теперь у нас есть все необходимые значения, чтобы вычислить $\cos(\alpha + 45^\circ)$. Подставим их в формулу:

$\cos(\alpha + 45^\circ) = \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{12}{13} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Выполним умножение и сложение дробей:

$\cos(\alpha + 45^\circ) = -\frac{5\sqrt{2}}{26} - \frac{12\sqrt{2}}{26} = \frac{-5\sqrt{2} - 12\sqrt{2}}{26} = \frac{-17\sqrt{2}}{26}$

Ответ: $-\frac{17\sqrt{2}}{26}$

195. Дано: $cos \alpha = 0,8$, $cos \beta = -\frac{12}{13}$, $270^{\circ} < \alpha < 360^{\circ}$, $180^{\circ} < \beta < 270^{\circ}$.

Найдите $sin (\alpha - \beta)$.

Для того чтобы найти значение выражения $sin(\alpha - \beta)$, необходимо воспользоваться формулой синуса разности:

$sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$

В условии задачи даны значения $cos\alpha$ и $cos\beta$. Нам нужно найти значения $sin\alpha$ и $sin\beta$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$ и учитывая, в каких координатных четвертях находятся углы $\alpha$ и $\beta$.

Найдем $sin\alpha$

По условию $cos\alpha = 0,8 = \frac{4}{5}$ и $270^\circ < \alpha < 360^\circ$. Этот диапазон углов соответствует IV координатной четверти, в которой значения синуса отрицательны.

Вычислим $sin\alpha$:

$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$

$sin\alpha = \pm\sqrt{0,36} = \pm0,6$

Так как угол $\alpha$ находится в IV четверти, $sin\alpha < 0$, следовательно:

$sin\alpha = -0,6 = -\frac{3}{5}$

Найдем $sin\beta$

По условию $cos\beta = -\frac{12}{13}$ и $180^\circ < \beta < 270^\circ$. Этот диапазон углов соответствует III координатной четверти, в которой значения синуса также отрицательны.

Вычислим $sin\beta$:

$sin^2\beta = 1 - cos^2\beta = 1 - (-\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$

$sin\beta = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$

Так как угол $\beta$ находится в III четверти, $sin\beta < 0$, следовательно:

$sin\beta = -\frac{5}{13}$

Вычислим $sin(\alpha - \beta)$

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения ($sin\alpha = -\frac{3}{5}$, $cos\alpha = \frac{4}{5}$, $sin\beta = -\frac{5}{13}$, $cos\beta = -\frac{12}{13}$), подставим их в формулу синуса разности:

$sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$

$sin(\alpha - \beta) = (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{12}{13}) - (\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{5}{13})$

$sin(\alpha - \beta) = \frac{3 \cdot 12}{5 \cdot 13} - \frac{4 \cdot (-5)}{5 \cdot 13} = \frac{36}{65} - (-\frac{20}{65})$

$sin(\alpha - \beta) = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{36 + 20}{65} = \frac{56}{65}$

Ответ: $\frac{56}{65}$

196. Найдите наименьшее значение выражения:

1) $\cos \alpha - \sin \alpha;$

2) $8\cos \alpha - 15\sin \alpha.$

Для нахождения наименьшего значения выражения вида $a\cos\alpha + b\sin\alpha$ используется метод введения вспомогательного угла. Выражение преобразуется к виду $R\cos(\alpha + \phi)$ или $R\sin(\alpha + \phi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Поскольку функции синус и косинус принимают значения в диапазоне от $-1$ до $1$, область значений выражения $a\cos\alpha + b\sin\alpha$ представляет собой отрезок $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$. Таким образом, наименьшее значение выражения равно $-\sqrt{a^2+b^2}$.

Рассмотрим выражение $\cos\alpha - \sin\alpha$.

Данное выражение имеет вид $a\cos\alpha + b\sin\alpha$, где коэффициенты $a=1$ и $b=-1$.

Найдем наименьшее значение по формуле $-\sqrt{a^2+b^2}$:
Наименьшее значение = $-\sqrt{1^2 + (-1)^2} = -\sqrt{1 + 1} = -\sqrt{2}$.

Проведем преобразование для наглядности:
$\cos\alpha - \sin\alpha = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\alpha - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\alpha\right)$.

Поскольку $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, мы можем использовать формулу косинуса суммы $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$:
$\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\alpha - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\alpha\right) = \sqrt{2}\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$.

Функция $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$ принимает значения от $-1$ до $1$. Следовательно, наименьшее значение всего выражения будет $\sqrt{2} \cdot (-1) = -\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}$.

Рассмотрим выражение $8\cos\alpha - 15\sin\alpha$.

Это выражение вида $a\cos\alpha + b\sin\alpha$, где $a=8$ и $b=-15$.

Найдем наименьшее значение по формуле $-\sqrt{a^2+b^2}$:
Наименьшее значение = $-\sqrt{8^2 + (-15)^2} = -\sqrt{64 + 225} = -\sqrt{289} = -17$.

Проведем преобразование:
$8\cos\alpha - 15\sin\alpha = 17\left(\frac{8}{17}\cos\alpha - \frac{15}{17}\sin\alpha\right)$.

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos\phi = \frac{8}{17}$ и $\sin\phi = \frac{15}{17}$ (такой угол существует, так как $\left(\frac{8}{17}\right)^2 + \left(\frac{15}{17}\right)^2 = 1$).

Тогда выражение можно записать в виде:
$17(\cos\phi\cos\alpha - \sin\phi\sin\alpha) = 17\cos(\alpha + \phi)$.

Функция $\cos(\alpha + \phi)$ принимает значения от $-1$ до $1$. Следовательно, наименьшее значение всего выражения будет $17 \cdot (-1) = -17$.

Ответ: $-17$.

197. Упростите выражение:

1) $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right);$

2) $\cos(\pi + \alpha);$

3) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right);$

4) $\operatorname{tg}\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right);$

5) $\operatorname{tg}^2\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right);$

6) $\sin^2(180^\circ + \alpha).$

1) Для упрощения выражения $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) $ воспользуемся формулами приведения.

Правило 1: Если в формуле содержатся углы $ \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} $, то название функции меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). В данном случае $ \sin $ меняется на $ \cos $.

Правило 2: Знак перед полученной функцией определяется знаком исходной функции в той четверти, в которой находится угол. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ (при малом положительном $ \alpha $) находится в III координатной четверти. Синус в III четверти имеет знак "минус".

Следовательно, $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos(\alpha) $.

Ответ: $ -\cos(\alpha) $

2) Для упрощения выражения $ \cos(\pi + \alpha) $ воспользуемся формулами приведения.

Правило 1: Если в формуле содержатся углы $ \pi $ или $ 2\pi $, то название функции не меняется. В данном случае $ \cos $ остается $ \cos $.

Правило 2: Угол $ \pi + \alpha $ находится в III координатной четверти. Косинус в III четверти имеет знак "минус".

Следовательно, $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha) $.

Ответ: $ -\cos(\alpha) $

3) Для упрощения выражения $ \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $ воспользуемся формулами приведения.

Правило 1: Так как в аргументе стоит $ \frac{\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию, то есть $ \text{ctg} $ меняется на $ \text{tg} $.

Правило 2: Угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ находится в I координатной четверти. Котангенс в I четверти имеет знак "плюс".

Следовательно, $ \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{tg}(\alpha) $.

Ответ: $ \text{tg}(\alpha) $

4) Упростим выражение $ \text{tg}\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) $.

Воспользуемся свойством нечетности тангенса: $ \text{tg}(-x) = -\text{tg}(x) $.

$ \text{tg}\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \text{tg}\left(-\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)\right) = -\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) $

Теперь применим формулу приведения для $ \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) $.

Правило 1: Так как в аргументе стоит $ \frac{3\pi}{2} $, функция $ \text{tg} $ меняется на кофункцию $ \text{ctg} $.

Правило 2: Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в III координатной четверти, где тангенс имеет знак "плюс". Значит, $ \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \text{ctg}(\alpha) $.

Подставляя обратно, получаем: $ -\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\text{ctg}(\alpha) $.

Ответ: $ -\text{ctg}(\alpha) $

5) Упростим выражение $ \text{tg}^2\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) $.

Сначала упростим основание степени $ \text{tg}\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) $. Используем периодичность тангенса (период $ \pi $).

$ \frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $

Отбрасывая полный оборот $ 2\pi $, получаем:

$ \text{tg}\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) = \text{tg}\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $

Теперь применим формулу приведения для $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $. Это кофункция, то есть $ \text{ctg}(\alpha) $, со знаком "плюс" (I четверть).

$ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{ctg}(\alpha) $

Наконец, возводим результат в квадрат: $ \text{tg}^2\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) = \left(\text{ctg}(\alpha)\right)^2 = \text{ctg}^2(\alpha) $.

Ответ: $ \text{ctg}^2(\alpha) $

6) Упростим выражение $ \sin^2(180^\circ + \alpha) $.

Сначала упростим $ \sin(180^\circ + \alpha) $ по формулам приведения.

Правило 1: Так как в аргументе стоит $ 180^\circ $ ($ \pi $ радиан), название функции $ \sin $ не меняется.

Правило 2: Угол $ 180^\circ + \alpha $ находится в III координатной четверти, где синус имеет знак "минус".

Следовательно, $ \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha) $.

Теперь возводим полученное выражение в квадрат:

$ \sin^2(180^\circ + \alpha) = (-\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha) $

Ответ: $ \sin^2(\alpha) $