Страница 85 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

184. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $ \sin^2 \alpha - 4\cos^2 \alpha; $

2) $ 3\cos^2 \alpha - 3\text{tg}^2 \alpha \cos^2 \alpha; $

3) $ 3\cos \alpha - 2\sin^2 \alpha; $

4) $ 6\cos \alpha + \sin^2 \alpha. $

1) $ \sin^2\alpha - 4\cos^2\alpha $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, чтобы выразить все выражение через одну тригонометрическую функцию. Заменим $ \sin^2\alpha $ на $ 1 - \cos^2\alpha $.

$ \sin^2\alpha - 4\cos^2\alpha = (1 - \cos^2\alpha) - 4\cos^2\alpha = 1 - 5\cos^2\alpha $.

Пусть $ t = \cos^2\alpha $. Поскольку $ -1 \le \cos\alpha \le 1 $, то $ 0 \le \cos^2\alpha \le 1 $. Следовательно, переменная $ t $ принимает значения в отрезке $ [0, 1] $.

Теперь задача сводится к нахождению диапазона значений функции $ y(t) = 1 - 5t $ на отрезке $ [0, 1] $. Это линейная убывающая функция (угловой коэффициент -5 отрицательный).

Следовательно, наибольшее значение функция принимает при наименьшем значении аргумента $ t $, то есть при $ t = 0 $:

$ y_{наиб} = 1 - 5 \cdot 0 = 1 $.

Наименьшее значение функция принимает при наибольшем значении аргумента $ t $, то есть при $ t = 1 $:

$ y_{наим} = 1 - 5 \cdot 1 = -4 $.

Ответ: наибольшее значение 1, наименьшее значение -4.

2) $ 3\cos^2\alpha - 3\text{tg}^2\alpha \cos^2\alpha $

Упростим данное выражение, используя определение тангенса $ \text{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} $. При этом область определения выражения подразумевает, что $ \cos\alpha \neq 0 $.

$ 3\cos^2\alpha - 3\text{tg}^2\alpha \cos^2\alpha = 3\cos^2\alpha - 3\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cos^2\alpha = 3\cos^2\alpha - 3\sin^2\alpha $.

Вынесем 3 за скобки и применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $:

$ 3(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = 3\cos(2\alpha) $.

Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения выражения $ 3\cos(2\alpha) $. Область значений функции $ y = \cos(x) $ есть отрезок $ [-1, 1] $, то есть $ -1 \le \cos(2\alpha) \le 1 $.

Умножив все части двойного неравенства на 3, получим область значений для исходного выражения:

$ -3 \le 3\cos(2\alpha) \le 3 $.

Таким образом, наибольшее значение выражения равно 3, а наименьшее равно -3.

Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение -3.

3) $ 3\cos\alpha - 2\sin^2\alpha $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $, чтобы привести выражение к функции, зависящей только от $ \cos\alpha $.

$ 3\cos\alpha - 2(1 - \cos^2\alpha) = 3\cos\alpha - 2 + 2\cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha + 3\cos\alpha - 2 $.

Сделаем замену переменной $ t = \cos\alpha $. Поскольку $ -1 \le \cos\alpha \le 1 $, то $ t $ принимает значения из отрезка $ [-1, 1] $.

Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $ y(t) = 2t^2 + 3t - 2 $ на отрезке $ [-1, 1] $.

Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $ t^2 $ положителен). Наименьшее значение на отрезке будет достигаться в вершине параболы, если она попадает в этот отрезок. Наибольшее значение будет на одном из концов отрезка.

Найдем абсциссу вершины параболы: $ t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4} $.

Так как $ -1 \le -\frac{3}{4} \le 1 $, вершина параболы принадлежит отрезку $ [-1, 1] $, и в ней функция достигает своего наименьшего значения.

$ y_{наим} = y(-\frac{3}{4}) = 2(-\frac{3}{4})^2 + 3(-\frac{3}{4}) - 2 = 2(\frac{9}{16}) - \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} - \frac{16}{8} = \frac{9 - 18 - 16}{8} = -\frac{25}{8} $.

Для нахождения наибольшего значения вычислим значения функции на концах отрезка $ [-1, 1] $:

$ y(-1) = 2(-1)^2 + 3(-1) - 2 = 2 - 3 - 2 = -3 $.

$ y(1) = 2(1)^2 + 3(1) - 2 = 2 + 3 - 2 = 3 $.

Сравнивая эти значения, находим, что наибольшее значение равно 3.

Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение $ -\frac{25}{8} $.

4) $ 6\cos\alpha + \sin^2\alpha $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $, приведем выражение к функции от $ \cos\alpha $.

$ 6\cos\alpha + (1 - \cos^2\alpha) = -\cos^2\alpha + 6\cos\alpha + 1 $.

Сделаем замену $ t = \cos\alpha $, где $ t \in [-1, 1] $.

Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $ y(t) = -t^2 + 6t + 1 $ на отрезке $ [-1, 1] $.

Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $ t^2 $ отрицателен). Наибольшее значение на отрезке будет достигаться в вершине параболы, если она попадает в этот отрезок. Наименьшее значение будет на одном из концов отрезка.

Найдем абсциссу вершины параболы: $ t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3 $.

Вершина параболы $ t_v = 3 $ не принадлежит отрезку $ [-1, 1] $.

Так как ветви параболы направлены вниз, а вершина ($ t=3 $) находится правее отрезка $ [-1, 1] $, то на этом отрезке функция $ y(t) $ является возрастающей.

Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, при $ t = -1 $:

$ y_{наим} = y(-1) = -(-1)^2 + 6(-1) + 1 = -1 - 6 + 1 = -6 $.

Наибольшее значение функция принимает на правом конце отрезка, при $ t = 1 $:

$ y_{наиб} = y(1) = -(1)^2 + 6(1) + 1 = -1 + 6 + 1 = 6 $.

Ответ: наибольшее значение 6, наименьшее значение -6.

185. Найдите значение выражения:

1) $\frac{4 \sin \alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha + 4 \sin \alpha}$, если $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{3}$;

2) $\frac{7 \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha}{5 \sin^2 \alpha + 3 \cos^2 \alpha}$, если $\operatorname{tg} \alpha = -2$.

1) Дано выражение $\frac{4\sin\alpha - \cos\alpha}{\cos\alpha + 4\sin\alpha}$ и известно, что $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{3}$.

Чтобы использовать значение котангенса, разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin\alpha$. Это можно сделать, так как если $\sin\alpha = 0$, то $\text{ctg}\alpha$ не определен, что противоречит условию.

$\frac{4\sin\alpha - \cos\alpha}{\cos\alpha + 4\sin\alpha} = \frac{\frac{4\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{\cos\alpha + 4\sin\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{\frac{4\sin\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \frac{4\sin\alpha}{\sin\alpha}}$

Зная, что $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, получаем:

$\frac{4 - \text{ctg}\alpha}{\text{ctg}\alpha + 4}$

Теперь подставим в выражение значение $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{3}$:

$\frac{4 - \frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 4} = \frac{\frac{12}{3} - \frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + \frac{12}{3}} = \frac{\frac{11}{3}}{\frac{13}{3}} = \frac{11}{3} \cdot \frac{3}{13} = \frac{11}{13}$

Ответ: $\frac{11}{13}$

2) Дано выражение $\frac{7\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha}{5\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha}$ и известно, что $\text{tg}\alpha = -2$.

Чтобы использовать значение тангенса, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos^2\alpha$. Это можно сделать, так как если $\cos\alpha = 0$, то $\text{tg}\alpha$ не определен, что противоречит условию.

$\frac{7\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha}{5\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha} = \frac{\frac{7\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{5\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{7\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}}{5\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 3\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}}$

Зная, что $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, получаем:

$\frac{7(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^2 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{5(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^2 + 3} = \frac{7\text{tg}^2\alpha - \text{tg}\alpha}{5\text{tg}^2\alpha + 3}$

Теперь подставим в выражение значение $\text{tg}\alpha = -2$:

$\frac{7(-2)^2 - (-2)}{5(-2)^2 + 3} = \frac{7 \cdot 4 + 2}{5 \cdot 4 + 3} = \frac{28+2}{20+3} = \frac{30}{23}$

Ответ: $\frac{30}{23}$

186. Дано: $\sin \alpha - \cos \alpha = 0.2$. Найдите:

1) $\sin \alpha \cos \alpha$;

2) $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha$.

1) sinαcosα;

Для того чтобы найти произведение $ \sin\alpha\cos\alpha $, возведем в квадрат обе части исходного уравнения $ \sin\alpha - \cos\alpha = 0,2 $:
$ (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = (0,2)^2 $
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:
$ \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 0,04 $
Сгруппируем слагаемые и используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:
$ (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,04 $
$ 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,04 $
Теперь выразим искомое произведение $ \sin\alpha\cos\alpha $:
$ 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 - 0,04 $
$ 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,96 $
$ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{0,96}{2} $
$ \sin\alpha\cos\alpha = 0,48 $
Ответ: 0,48

2) tgα + ctgα.

Для нахождения суммы $ \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha $, выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:
$ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $
Подставим эти выражения в сумму:
$ \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin\alpha\cos\alpha $:
$ \frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha + \cos\alpha \cdot \cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем:
$ \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} $
Из первого пункта мы знаем, что $ \sin\alpha\cos\alpha = 0,48 $. Подставим это значение:
$ \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{1}{0,48} $
Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $ 0,48 = \frac{48}{100} = \frac{12}{25} $.
Тогда:
$ \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\frac{12}{25}} = \frac{25}{12} $
Можно также записать в виде смешанной дроби: $ 2\frac{1}{12} $.
Ответ: $ \frac{25}{12} $

187. Постройте график функции:

1) $y = \cos 3\alpha \operatorname{tg} 3\alpha$;

2) $y = \cos^2 \sqrt{x} + \sin^2 \sqrt{x}$.

1)
Рассмотрим функцию $y = \cos(3\alpha) \operatorname{tg}(3\alpha)$.
Для построения графика сначала упростим выражение. Используем определение тангенса: $\operatorname{tg}(3\alpha) = \frac{\sin(3\alpha)}{\cos(3\alpha)}$.
Подставив это в исходное уравнение, получим:
$y = \cos(3\alpha) \cdot \frac{\sin(3\alpha)}{\cos(3\alpha)}$
Сократив $\cos(3\alpha)$, получим $y = \sin(3\alpha)$.
Однако, это преобразование возможно только при условии, что исходное выражение имеет смысл. Функция $\operatorname{tg}(3\alpha)$ не определена, когда ее знаменатель $\cos(3\alpha)$ равен нулю.
Найдем область определения функции (ОДЗ):
$\cos(3\alpha) \neq 0$
$3\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
$\alpha \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \sin(3\alpha)$, но с "выколотыми" точками в тех местах, где нарушается ОДЗ.
График функции $y = \sin(3\alpha)$ - это синусоида с амплитудой 1 и периодом $T = \frac{2\pi}{3}$.
Точки, которые нужно исключить из графика, имеют абсциссы $\alpha = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$. Ординаты этих точек равны $y = \sin(3(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3})) = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = (-1)^k$.
Следовательно, из графика синусоиды $y = \sin(3\alpha)$ нужно выколоть все точки локальных максимумов (с ординатой 1) и минимумов (с ординатой -1).
Ответ: Графиком функции является синусоида $y = \sin(3\alpha)$ (с амплитудой 1 и периодом $\frac{2\pi}{3}$) с выколотыми точками в местах локальных экстремумов. Координаты выколотых точек: $(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, (-1)^k)$ при $k \in \mathbb{Z}$.

2)
Рассмотрим функцию $y = \cos^2\sqrt{x} + \sin^2\sqrt{x}$.
Для упрощения выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$.
В данном случае $\theta = \sqrt{x}$, поэтому функция упрощается до $y=1$.
Теперь найдем область определения исходной функции (ОДЗ). Выражение $\sqrt{x}$ определено только для неотрицательных значений $x$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Таким образом, график исходной функции - это график функции $y=1$ при условии, что $x \ge 0$.
Геометрически это представляет собой луч, выходящий из точки $(0, 1)$ и идущий параллельно оси абсцисс вправо.
Ответ: Графиком функции является луч, задаваемый уравнением $y=1$ для $x \ge 0$. Он начинается в точке $(0, 1)$ и идет вправо параллельно оси Ox.

188. Упростите выражение:

1) $\sqrt{1 - \cos^2 \frac{\alpha}{3}} + \sqrt{1 - \sin^2 \frac{\alpha}{3}}$, если $3\pi < \alpha < \frac{9}{2}\pi$;

2) $\sqrt{\sin^2 \alpha(1 - \text{ctg} \alpha) + \cos^2 \alpha(1 - \text{tg} \alpha)}$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

1) Упростим выражение $\sqrt{1 - \cos^2\frac{\alpha}{3}} + \sqrt{1 - \sin^2\frac{\alpha}{3}}$ при условии $3\pi < \alpha < \frac{9}{2}\pi$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Из него следуют два равенства: $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ и $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

Подставим их в наше выражение:

$\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{3}} + \sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{3}}$

Используя свойство корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|\sin\frac{\alpha}{3}| + |\cos\frac{\alpha}{3}|$

Теперь определим знаки синуса и косинуса, исходя из данного интервала для $\alpha$.

Дано: $3\pi < \alpha < \frac{9}{2}\pi$.

Найдем интервал для $\frac{\alpha}{3}$, разделив все части неравенства на 3:

$\frac{3\pi}{3} < \frac{\alpha}{3} < \frac{9\pi}{2 \cdot 3}$

$\pi < \frac{\alpha}{3} < \frac{3\pi}{2}$

Этот интервал соответствует III четверти тригонометрического круга. В III четверти и синус, и косинус имеют отрицательные значения:

$\sin\frac{\alpha}{3} < 0$ и $\cos\frac{\alpha}{3} < 0$.

Следовательно, при раскрытии модулей мы должны поменять знаки выражений на противоположные:

$|\sin\frac{\alpha}{3}| = -\sin\frac{\alpha}{3}$

$|\cos\frac{\alpha}{3}| = -\cos\frac{\alpha}{3}$

Подставляем обратно в выражение:

$(-\sin\frac{\alpha}{3}) + (-\cos\frac{\alpha}{3}) = -\sin\frac{\alpha}{3} - \cos\frac{\alpha}{3}$

Ответ: $-\sin\frac{\alpha}{3} - \cos\frac{\alpha}{3}$

2) Упростим выражение $\sqrt{\sin^2\alpha(1-\text{ctg}\alpha) + \cos^2\alpha(1-\text{tg}\alpha)}$ при условии $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Сначала преобразуем выражение под корнем. Вспомним, что $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

$\sin^2\alpha(1-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}) + \cos^2\alpha(1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})$

Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:

$\sin^2\alpha(\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha}) + \cos^2\alpha(\frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha})$

Сократим дроби (это возможно, так как в заданном интервале $\sin\alpha \neq 0$ и $\cos\alpha \neq 0$):

$\sin\alpha(\sin\alpha - \cos\alpha) + \cos\alpha(\cos\alpha - \sin\alpha)$

Вынесем $-1$ из второй скобки, чтобы получить общий множитель:

$\sin\alpha(\sin\alpha - \cos\alpha) - \cos\alpha(\sin\alpha - \cos\alpha)$

Теперь вынесем общий множитель $(\sin\alpha - \cos\alpha)$ за скобки:

$(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha - \cos\alpha) = (\sin\alpha - \cos\alpha)^2$

Итак, исходное выражение равно $\sqrt{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2}$.

Используя свойство корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|\sin\alpha - \cos\alpha|$

Определим знак выражения $\sin\alpha - \cos\alpha$ для интервала $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Этот интервал соответствует II четверти тригонометрического круга. Во II четверти синус положителен ($\sin\alpha > 0$), а косинус отрицателен ($\cos\alpha < 0$).

Тогда разность $\sin\alpha - \cos\alpha$ будет разностью положительного и отрицательного чисел, что всегда дает положительный результат:

$\sin\alpha - \cos\alpha = (\text{положительное число}) - (\text{отрицательное число}) > 0$.

Поскольку выражение под модулем положительно, модуль можно просто убрать:

$|\sin\alpha - \cos\alpha| = \sin\alpha - \cos\alpha$

Ответ: $\sin\alpha - \cos\alpha$

189. Упростите выражение:

1) $ \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) - \cos \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right); $

2) $ 2\sin \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) - \sqrt{3} \cos \alpha - \sin \alpha; $

3) $ \frac{\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)}. $

1) Для упрощения выражения $\cos(\alpha + \frac{\pi}{6}) - \cos(\alpha - \frac{\pi}{6})$ воспользуемся формулами косинуса суммы и разности:
$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$
$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$
Раскроем скобки в исходном выражении, используя значения $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:
$(\cos\alpha \cos\frac{\pi}{6} - \sin\alpha \sin\frac{\pi}{6}) - (\cos\alpha \cos\frac{\pi}{6} + \sin\alpha \sin\frac{\pi}{6})$
$= (\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha) - (\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha)$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha = -2 \cdot \frac{1}{2}\sin\alpha = -\sin\alpha$.

Ответ: $-\sin\alpha$.

2) Рассмотрим выражение $2\sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha$.
Воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$.
Зная, что $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, преобразуем первый член выражения:
$2\sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = 2(\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha) = \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$(\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha - \sin\alpha = -2\sin\alpha$.

Ответ: $-2\sin\alpha$.

3) Упростим дробь $\frac{\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)}$.
Воспользуемся формулами синуса и косинуса суммы:
$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$
$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$
Используя значения $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, преобразуем числитель и знаменатель дроби.
Числитель:
$\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha) = (\sin 45^\circ \cos\alpha + \cos 45^\circ \sin\alpha) - (\cos 45^\circ \cos\alpha - \sin 45^\circ \sin\alpha)$
$= (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) - (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) = \sqrt{2}\sin\alpha$.
Знаменатель:
$\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha) = (\sin 45^\circ \cos\alpha + \cos 45^\circ \sin\alpha) + (\cos 45^\circ \cos\alpha - \sin 45^\circ \sin\alpha)$
$= (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) + (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha$.
Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$\frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sqrt{2}\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$.

Ответ: $\tan\alpha$.