Номер 186, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

186. Дано: $\sin \alpha - \cos \alpha = 0.2$. Найдите:

1) $\sin \alpha \cos \alpha$;

2) $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha$.

1) sinαcosα;

Для того чтобы найти произведение $ \sin\alpha\cos\alpha $, возведем в квадрат обе части исходного уравнения $ \sin\alpha - \cos\alpha = 0,2 $:
$ (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = (0,2)^2 $
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:
$ \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 0,04 $
Сгруппируем слагаемые и используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:
$ (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,04 $
$ 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,04 $
Теперь выразим искомое произведение $ \sin\alpha\cos\alpha $:
$ 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 - 0,04 $
$ 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,96 $
$ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{0,96}{2} $
$ \sin\alpha\cos\alpha = 0,48 $
Ответ: 0,48

2) tgα + ctgα.

Для нахождения суммы $ \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha $, выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:
$ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $
Подставим эти выражения в сумму:
$ \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin\alpha\cos\alpha $:
$ \frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha + \cos\alpha \cdot \cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем:
$ \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} $
Из первого пункта мы знаем, что $ \sin\alpha\cos\alpha = 0,48 $. Подставим это значение:
$ \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{1}{0,48} $
Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $ 0,48 = \frac{48}{100} = \frac{12}{25} $.
Тогда:
$ \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\frac{12}{25}} = \frac{25}{12} $
Можно также записать в виде смешанной дроби: $ 2\frac{1}{12} $.
Ответ: $ \frac{25}{12} $