Номер 183, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

183. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos^3 6\alpha + \sin^3 (-6\alpha)}{1 + \sin 6\alpha \cos(-6\alpha)} = \cos 6\alpha - \sin 6\alpha;$

2) $\cos^4 3\beta - \sin^4 (-3\beta) - 2\cos^2 3\beta = -1;$

3) $\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} + \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha};$

4) $\cos^6 2x + \sin^6 2x + \sin^2 2x \cos^2 2x = \cos^4 2x + \sin^4 2x;$

5) $\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1}{\operatorname{tg} \alpha - \sin \alpha \cos \alpha} = 2\operatorname{ctg}^2 \alpha;$

6) $\frac{1 + \sqrt{10} \cos \alpha}{\sqrt{10} \sin \alpha + 3} = \frac{\sqrt{10} \sin \alpha - 3}{1 - \sqrt{10} \cos \alpha};$

7) $\frac{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{ctg} \beta - \operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} \beta \operatorname{ctg} \alpha.$

1)

Преобразуем левую часть тождества. Используем свойства нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$ и четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$.

$\frac{\cos^3 6\alpha + \sin^3(-6\alpha)}{1 + \sin 6\alpha \cos(-6\alpha)} = \frac{\cos^3 6\alpha - \sin^3 6\alpha}{1 + \sin 6\alpha \cos 6\alpha}$

Применим в числителе формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$\cos^3 6\alpha - \sin^3 6\alpha = (\cos 6\alpha - \sin 6\alpha)(\cos^2 6\alpha + \cos 6\alpha \sin 6\alpha + \sin^2 6\alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, упростим выражение во вторых скобках:

$\cos^2 6\alpha + \sin^2 6\alpha + \cos 6\alpha \sin 6\alpha = 1 + \cos 6\alpha \sin 6\alpha$

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{(\cos 6\alpha - \sin 6\alpha)(1 + \sin 6\alpha \cos 6\alpha)}{1 + \sin 6\alpha \cos 6\alpha} = \cos 6\alpha - \sin 6\alpha$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества. Так как синус - функция нечетная, $\sin(-3\beta) = -\sin(3\beta)$, то $\sin^4(-3\beta) = (-\sin(3\beta))^4 = \sin^4(3\beta)$.

Выражение принимает вид: $\cos^4 3\beta - \sin^4 3\beta - 2\cos^2 3\beta$.

Разложим разность четвертых степеней по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\cos^4 3\beta - \sin^4 3\beta = (\cos^2 3\beta - \sin^2 3\beta)(\cos^2 3\beta + \sin^2 3\beta)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$, получаем:

$(\cos(2 \cdot 3\beta)) \cdot 1 = \cos(6\beta)$

Подставим это обратно в выражение:

$\cos(6\beta) - 2\cos^2 3\beta$

Снова используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$, где $x=3\beta$:

$\cos(6\beta) = 2\cos^2 3\beta - 1$

Выражение становится: $(2\cos^2 3\beta - 1) - 2\cos^2 3\beta = -1$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(1-\cos\alpha)\sin\alpha$:

$\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} + \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha + (1-\cos\alpha)(1-\cos\alpha)}{(1-\cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + (1-\cos\alpha)^2}{(1-\cos\alpha)\sin\alpha}$

Раскроем скобки в числителе:

$\sin^2\alpha + 1 - 2\cos\alpha + \cos^2\alpha$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 1 - 2\cos\alpha = 1 + 1 - 2\cos\alpha = 2 - 2\cos\alpha = 2(1-\cos\alpha)$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{2(1-\cos\alpha)}{(1-\cos\alpha)\sin\alpha}$

Сократим дробь на $(1-\cos\alpha)$:

$\frac{2}{\sin\alpha}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем первые два слагаемых:

$\cos^6 2x + \sin^6 2x + \sin^2 2x \cos^2 2x$

Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = \cos^2 2x$ и $b = \sin^2 2x$. Заметим, что $a+b = \cos^2 2x + \sin^2 2x = 1$.

$\cos^6 2x + \sin^6 2x = (\cos^2 2x + \sin^2 2x)(\cos^4 2x - \cos^2 2x \sin^2 2x + \sin^4 2x) = 1 \cdot (\cos^4 2x - \cos^2 2x \sin^2 2x + \sin^4 2x)$

Подставим это в левую часть исходного равенства:

$(\cos^4 2x - \cos^2 2x \sin^2 2x + \sin^4 2x) + \sin^2 2x \cos^2 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$\cos^4 2x + \sin^4 2x$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5)

Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим числитель:

$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - 1 = (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) - 1$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$(1 + 2\sin\alpha\cos\alpha) - 1 = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Теперь упростим знаменатель:

$\tan\alpha - \sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \sin\alpha\cos\alpha$

Вынесем $\sin\alpha$ за скобки и приведем к общему знаменателю:

$\sin\alpha (\frac{1}{\cos\alpha} - \cos\alpha) = \sin\alpha (\frac{1-\cos^2\alpha}{\cos\alpha})$

Используя тождество $1-\cos^2\alpha = \sin^2\alpha$, получаем:

$\sin\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin^3\alpha}{\cos\alpha}$

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\frac{\sin^3\alpha}{\cos\alpha}} = 2\sin\alpha\cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin^3\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos^2\alpha}{\sin^3\alpha} = \frac{2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$

Так как $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, то $\frac{2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 2\cot^2\alpha$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

6)

Данное тождество является пропорцией $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, которая верна, если $ad = bc$.

Проверим равенство произведений крайних и средних членов:

$(1+\sqrt{10}\cos\alpha)(1-\sqrt{10}\cos\alpha) = (\sqrt{10}\sin\alpha+3)(\sqrt{10}\sin\alpha-3)$

Преобразуем левую часть по формуле разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:

$1^2 - (\sqrt{10}\cos\alpha)^2 = 1 - 10\cos^2\alpha$

Преобразуем правую часть по той же формуле:

$(\sqrt{10}\sin\alpha)^2 - 3^2 = 10\sin^2\alpha - 9$

Теперь докажем, что $1 - 10\cos^2\alpha = 10\sin^2\alpha - 9$.

Преобразуем правую часть, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$10(1 - \cos^2\alpha) - 9 = 10 - 10\cos^2\alpha - 9 = 1 - 10\cos^2\alpha$

Получили, что левая и правая части равны: $1 - 10\cos^2\alpha = 1 - 10\cos^2\alpha$.

Следовательно, исходное тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

7)

Преобразуем левую часть тождества. В числителе вынесем за скобки $\cot\alpha$, а в знаменателе $\cot\beta$:

$\frac{\cot\alpha - \tan\beta}{\cot\beta - \tan\alpha} = \frac{\cot\alpha(1 - \frac{\tan\beta}{\cot\alpha})}{\cot\beta(1 - \frac{\tan\alpha}{\cot\beta})}$

Упростим выражения в скобках, используя то, что $\frac{1}{\cot x} = \tan x$:

$\frac{\tan\beta}{\cot\alpha} = \tan\beta \tan\alpha$

$\frac{\tan\alpha}{\cot\beta} = \tan\alpha \tan\beta$

Подставим это обратно в дробь:

$\frac{\cot\alpha(1 - \tan\alpha \tan\beta)}{\cot\beta(1 - \tan\alpha \tan\beta)}$

Сократим дробь на общий множитель $(1 - \tan\alpha \tan\beta)$:

$\frac{\cot\alpha}{\cot\beta} = \cot\alpha \cdot \frac{1}{\cot\beta} = \cot\alpha \tan\beta$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.