Страница 100 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

273. Найдите производную функции:

1) $y = 4x + 1;$

2) $y = \frac{5 - x}{7};$

3) $y = -9;$

4) $y = x^{11};$

5) $y = \frac{1}{x^9};$

6) $y = x^{2,4};$

7) $y = x^{-3,1};$

8) $y = \sqrt[7]{x};$

9) $y = \sqrt[9]{x^8};$

10) $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^3}}.$

1) Для нахождения производной функции $y = 4x + 1$ используем правило производной суммы $(u+v)' = u' + v'$ и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)' = c \cdot u'$. Производная от $x$ равна 1, а производная от константы (числа 1) равна 0.
$y' = (4x + 1)' = (4x)' + (1)' = 4 \cdot (x)' + 0 = 4 \cdot 1 = 4$.
Ответ: $4$.

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{5 - x}{7}$ представим ее в виде разности двух дробей: $y = \frac{5}{7} - \frac{x}{7}$.
Теперь найдем производную, используя правило производной разности:
$y' = (\frac{5}{7} - \frac{x}{7})' = (\frac{5}{7})' - (\frac{1}{7}x)' = 0 - \frac{1}{7} \cdot (x)' = -\frac{1}{7} \cdot 1 = -\frac{1}{7}$.
Ответ: $-\frac{1}{7}$.

3) Функция $y = -9$ является константой (постоянной величиной). Производная любой константы равна нулю.
$y' = (-9)' = 0$.
Ответ: $0$.

4) Для нахождения производной функции $y = x^{11}$ используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=11$.
$y' = (x^{11})' = 11 \cdot x^{11-1} = 11x^{10}$.
Ответ: $11x^{10}$.

5) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{x^9}$ сначала представим ее в виде степенной функции с отрицательным показателем: $y = x^{-9}$.
Теперь применим формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$ для $n=-9$:
$y' = (x^{-9})' = -9 \cdot x^{-9-1} = -9x^{-10}$.
Запишем результат с положительным показателем степени: $y' = -\frac{9}{x^{10}}$.
Ответ: $-\frac{9}{x^{10}}$.

6) Для нахождения производной функции $y = x^{2,4}$ используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=2,4$.
$y' = (x^{2.4})' = 2.4 \cdot x^{2.4-1} = 2.4x^{1.4}$.
Ответ: $2.4x^{1.4}$.

7) Для нахождения производной функции $y = x^{-3,1}$ используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=-3,1$.
$y' = (x^{-3.1})' = -3.1 \cdot x^{-3.1-1} = -3.1x^{-4.1}$.
Ответ: $-3.1x^{-4.1}$.

8) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[7]{x}$ представим корень в виде степени с дробным показателем: $y = x^{\frac{1}{7}}$.
Применим формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$ для $n=\frac{1}{7}$:
$y' = (x^{\frac{1}{7}})' = \frac{1}{7}x^{\frac{1}{7}-1} = \frac{1}{7}x^{\frac{1-7}{7}} = \frac{1}{7}x^{-\frac{6}{7}}$.
Представим результат обратно в виде корня: $y' = \frac{1}{7x^{\frac{6}{7}}} = \frac{1}{7\sqrt[7]{x^6}}$.
Ответ: $\frac{1}{7\sqrt[7]{x^6}}$.

9) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[9]{x^8}$ представим корень в виде степени с дробным показателем: $y = x^{\frac{8}{9}}$.
Применим формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$ для $n=\frac{8}{9}$:
$y' = (x^{\frac{8}{9}})' = \frac{8}{9}x^{\frac{8}{9}-1} = \frac{8}{9}x^{\frac{8-9}{9}} = \frac{8}{9}x^{-\frac{1}{9}}$.
Представим результат обратно в виде корня: $y' = \frac{8}{9x^{\frac{1}{9}}} = \frac{8}{9\sqrt[9]{x}}$.
Ответ: $\frac{8}{9\sqrt[9]{x}}$.

10) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^3}}$ сначала представим ее в виде степени с отрицательным дробным показателем:
$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{8}}} = x^{-\frac{3}{8}}$.
Применим формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$ для $n=-\frac{3}{8}$:
$y' = (x^{-\frac{3}{8}})' = -\frac{3}{8}x^{-\frac{3}{8}-1} = -\frac{3}{8}x^{-\frac{3+8}{8}} = -\frac{3}{8}x^{-\frac{11}{8}}$.
Представим результат обратно в виде дроби с корнем: $y' = -\frac{3}{8x^{\frac{11}{8}}} = -\frac{3}{8\sqrt[8]{x^{11}}}$.
Ответ: $-\frac{3}{8\sqrt[8]{x^{11}}}$.

274. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \cos x, x_0 = -\frac{\pi}{3}$;

2) $f(x) = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1) Дана функция $f(x) = \cos x$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{3}$.

Для вычисления значения производной функции в точке, необходимо сначала найти саму производную.

Производная функции $f(x) = \cos x$ равна $f'(x) = -\sin x$.

Теперь подставим значение $x_0 = -\frac{\pi}{3}$ в выражение для производной:

$f'(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(-\frac{\pi}{3})$.

Используя свойство нечетности функции синус, $\sin(-a) = -\sin(a)$, получаем:

$f'(-\frac{\pi}{3}) = -(-\sin(\frac{\pi}{3})) = \sin(\frac{\pi}{3})$.

Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{3})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $f'(-\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = \sin x$.

Производная функции $f(x) = \sin x$ равна $f'(x) = \cos x$.

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{3}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.

Табличное значение $\cos(\frac{\pi}{3})$ равно $\frac{1}{2}$.

Следовательно, $f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

275. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x)=8x^2\sqrt{x}, x_0=9;$

2) $\varphi(x)=\frac{4x^2}{\sqrt[4]{x}}, x_0=16.$

1) Дана функция $f(x) = 8x^2\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 9$.

Для нахождения производной сначала упростим выражение для функции, представив корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.

$f(x) = 8x^2 \cdot x^{1/2} = 8x^{2 + \frac{1}{2}} = 8x^{\frac{5}{2}}$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения константы за знак производной.

$f'(x) = (8x^{\frac{5}{2}})' = 8 \cdot (\frac{5}{2})x^{\frac{5}{2} - 1} = 4 \cdot 5x^{\frac{3}{2}} = 20x^{\frac{3}{2}}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 9$.

$f'(9) = 20 \cdot 9^{\frac{3}{2}} = 20 \cdot (\sqrt{9})^3 = 20 \cdot 3^3 = 20 \cdot 27 = 540$.

Ответ: 540.

2) Дана функция $\phi(x) = \frac{4x^2}{\sqrt[4]{x}}$ и точка $x_0 = 16$.

Упростим выражение для функции, используя свойства степеней: $\sqrt[4]{x} = x^{1/4}$.

$\phi(x) = \frac{4x^2}{x^{\frac{1}{4}}} = 4x^{2 - \frac{1}{4}} = 4x^{\frac{8}{4} - \frac{1}{4}} = 4x^{\frac{7}{4}}$.

Найдем производную функции $\phi(x)$ по тому же правилу дифференцирования.

$\phi'(x) = (4x^{\frac{7}{4}})' = 4 \cdot \frac{7}{4}x^{\frac{7}{4} - 1} = 7x^{\frac{3}{4}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 16$.

$\phi'(16) = 7 \cdot 16^{\frac{3}{4}} = 7 \cdot (\sqrt[4]{16})^3 = 7 \cdot 2^3 = 7 \cdot 8 = 56$.

Ответ: 56.

276. Пользуясь определением, найдите $f'(x)$, если:

1) $f(x) = 3x + 7;$

2) $f(x) = x^2 - 4x + 5.$

По определению, производная функции $f(x)$ находится как предел отношения приращения функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда последнее стремится к нулю:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

1) f(x) = 3x + 7;

Сначала найдем приращение функции $\Delta f$:
$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (3(x + \Delta x) + 7) - (3x + 7)$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\Delta f = 3x + 3\Delta x + 7 - 3x - 7 = 3\Delta x$.
Теперь найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{3\Delta x}{\Delta x} = 3$.
На последнем шаге вычислим предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 3 = 3$.
Ответ: $f'(x) = 3$.

2) f(x) = x² - 4x + 5.

Сначала найдем приращение функции $\Delta f$:
$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = ((x + \Delta x)^2 - 4(x + \Delta x) + 5) - (x^2 - 4x + 5)$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\Delta f = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - 4x - 4\Delta x + 5) - x^2 + 4x - 5$.
$\Delta f = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - 4\Delta x$.
Теперь найдем отношение приращения функции к приращению аргумента, вынеся $\Delta x$ за скобки в числителе:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 - 4\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x - 4)}{\Delta x} = 2x + \Delta x - 4$.
На последнем шаге вычислим предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x - 4) = 2x + 0 - 4 = 2x - 4$.
Ответ: $f'(x) = 2x - 4$.

277. Найдите угловой коэффициент касательной, прове- дённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = x^6, x_0 = -1;$

2) $f(x) = \sqrt[5]{x}, x_0 = 243;$

3) $f(x) = \frac{1}{x^4}, x_0 = 5;$

4) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{3}.\;$

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной функции $f'(x)$ в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = x^6$ и точка $x_0 = -1$.

Сначала найдем производную функции. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (x^6)' = 6x^{6-1} = 6x^5$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$k = f'(-1) = 6 \cdot (-1)^5 = 6 \cdot (-1) = -6$.

Ответ: $-6$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt[5]{x}$ и точка $x_0 = 243$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{\frac{1}{5}}$.

Найдем производную функции по правилу дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = (x^{\frac{1}{5}})' = \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1} = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 243$. Заметим, что $243 = 3^5$, поэтому $\sqrt[5]{243} = 3$.

$k = f'(243) = \frac{1}{5\sqrt[5]{243^4}} = \frac{1}{5(\sqrt[5]{243})^4} = \frac{1}{5 \cdot 3^4} = \frac{1}{5 \cdot 81} = \frac{1}{405}$.

Ответ: $\frac{1}{405}$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^4}$ и точка $x_0 = 5$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-4}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^{-4})' = -4x^{-4-1} = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 5$:

$k = f'(5) = -\frac{4}{5^5} = -\frac{4}{3125}$.

Ответ: $-\frac{4}{3125}$.

4) Дана функция $f(x) = \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Найдем производную функции. Производная косинуса равна минус синусу:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$k = f'(\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

278. Найдите с помощью графика функции f (рис. 18) значения $f'(x_1)$, $f'(x_2)$ и $f'(x_3)$.

Рис. 18

Геометрический смысл производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ заключается в том, что ее значение $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент $k$ касательной равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox): $k = \tan(\alpha)$. Таким образом, $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

f'(x₁)

На графике показана касательная к функции в точке $x_1$. Угол, который эта касательная образует с положительным направлением оси Ox, равен $150^\circ$.
Следовательно, значение производной в этой точке равно тангенсу этого угла:
$f'(x_1) = \tan(150^\circ)$.
Используем формулу приведения: $\tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ)$.
Значение $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Таким образом, $f'(x_1) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $f'(x_1) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

f'(x₂)

Касательная к графику функции в точке $x_2$ образует с положительным направлением оси Ox угол, равный $45^\circ$.
Значение производной в этой точке равно тангенсу этого угла:
$f'(x_2) = \tan(45^\circ)$.
Значение $\tan(45^\circ) = 1$.
Таким образом, $f'(x_2) = 1$.
Ответ: $f'(x_2) = 1$.

f'(x₃)

Точка $x_3$ является точкой локального минимума функции. В точках экстремума (минимума или максимума) касательная к графику функции горизонтальна, то есть параллельна оси Ox.
Угол наклона горизонтальной прямой к оси Ox равен $0^\circ$.
Следовательно, значение производной в этой точке равно:
$f'(x_3) = \tan(0^\circ) = 0$.
Ответ: $f'(x_3) = 0$.