Страница 99 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

268. Выясните, является ли непрерывной функция $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sqrt{x - 3}$, $x_0 = 12$;

2) $f(x) = \frac{|x + 7|}{x + 7}$, $x_0 = 4$;

3) $f(x) = \begin{cases} 3x - 8, & \text{если } x < 2, \\ x^2 - 6, & \text{если } x \geq 2, \end{cases}$ $x_0 = 2$;

4) $f(x) = \begin{cases} \frac{2x - 16}{x - 8}, & \text{если } x \neq 8, \\ 2, & \text{если } x = 8, \end{cases}$ $x_0 = 8$.

1) Для того чтобы выяснить, является ли функция $f(x) = \sqrt{x-3}$ непрерывной в точке $x_0 = 12$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:
1. Функция должна быть определена в точке $x_0$.
2. Должен существовать предел функции $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
3. Значение функции в точке $x_0$ должно быть равно ее пределу в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Проверим эти условия:
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 12$:
$f(12) = \sqrt{12-3} = \sqrt{9} = 3$.
Функция определена в данной точке.
2. Найдем предел функции при $x \to 12$ путем прямой подстановки, так как функция является элементарной и точка $x_0 = 12$ входит в ее область определения:
$\lim_{x \to 12} \sqrt{x-3} = \sqrt{12-3} = \sqrt{9} = 3$.
Предел существует.
3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 12$:
$\lim_{x \to 12} f(x) = 3$ и $f(12) = 3$.
Так как $\lim_{x \to 12} f(x) = f(12)$, все условия выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 12$.

2) Проверим непрерывность функции $f(x) = \frac{|x+7|}{x+7}$ в точке $x_0 = 4$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 4$:
$f(4) = \frac{|4+7|}{4+7} = \frac{|11|}{11} = \frac{11}{11} = 1$.
Функция определена в данной точке.
2. Найдем предел функции при $x \to 4$. В окрестности точки $x_0 = 4$ (например, на интервале $(3, 5)$) выражение под модулем $x+7$ всегда положительно. Следовательно, $|x+7| = x+7$. Тогда для $x$ в окрестности 4 функция принимает вид:
$f(x) = \frac{x+7}{x+7} = 1$.
Найдем предел:
$\lim_{x \to 4} f(x) = \lim_{x \to 4} 1 = 1$.
Предел существует.
3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 4$:
$\lim_{x \to 4} f(x) = 1$ и $f(4) = 1$.
Так как $\lim_{x \to 4} f(x) = f(4)$, все условия выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 4$.

3) Проверим непрерывность функции $f(x) = \begin{cases} 3x - 8, & \text{если } x < 2 \\ x^2 - 6, & \text{если } x \geq 2 \end{cases}$ в точке $x_0 = 2$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$. Так как $x_0 = 2$ удовлетворяет условию $x \geq 2$, используем второе выражение:
$f(2) = 2^2 - 6 = 4 - 6 = -2$.
Функция определена в данной точке.
2. Найдем предел функции в точке $x_0 = 2$. Поскольку определение функции меняется в этой точке, необходимо найти левосторонний и правосторонний пределы.
Левосторонний предел (при $x \to 2^-$):
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (3x - 8) = 3 \cdot 2 - 8 = 6 - 8 = -2$.
Правосторонний предел (при $x \to 2^+$):
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 6) = 2^2 - 6 = 4 - 6 = -2$.
Так как левосторонний и правосторонний пределы равны ($\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = -2$), то предел функции в точке $x_0=2$ существует и равен -2.
3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 2$:
$\lim_{x \to 2} f(x) = -2$ и $f(2) = -2$.
Так как $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$, все условия выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 2$.

4) Проверим непрерывность функции $f(x) = \begin{cases} \frac{2x-16}{x-8}, & \text{если } x \neq 8 \\ 2, & \text{если } x = 8 \end{cases}$ в точке $x_0 = 8$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 8$. Согласно определению функции, при $x=8$ значение равно 2:
$f(8) = 2$.
Функция определена в данной точке.
2. Найдем предел функции при $x \to 8$. Для нахождения предела рассматриваются значения $x$, сколь угодно близкие к 8, но не равные 8. Поэтому используем первое выражение:
$\lim_{x \to 8} f(x) = \lim_{x \to 8} \frac{2x-16}{x-8}$.
При подстановке $x=8$ в выражение получается неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия упростим дробь:
$\lim_{x \to 8} \frac{2(x-8)}{x-8}$.
Поскольку $x \to 8$, но $x \neq 8$, мы можем сократить дробь на $(x-8)$:
$\lim_{x \to 8} 2 = 2$.
Предел существует.
3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 8$:
$\lim_{x \to 8} f(x) = 2$ и $f(8) = 2$.
Так как $\lim_{x \to 8} f(x) = f(8)$, все условия выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 8$.

269. Найдите приращение функции $f$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x) = 4x + 5, x_0 = -2, \Delta x = 0,1;$

2) $f(x) = 3x^2 + x, x_0 = 1, \Delta x = 0,2;$

3) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{4}, \Delta x = \frac{\pi}{12}.$

1)

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ определяется как разность значений функции в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$. Формула для вычисления приращения: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

Для функции $f(x) = 4x + 5$ в точке $x_0 = -2$ с приращением аргумента $\Delta x = 0,1$ найдем приращение функции.

1. Вычислим значение функции в начальной точке $x_0 = -2$:
$f(x_0) = f(-2) = 4 \cdot (-2) + 5 = -8 + 5 = -3$.

2. Определим новое значение аргумента $x_0 + \Delta x$:
$x_0 + \Delta x = -2 + 0,1 = -1,9$.

3. Вычислим значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x = -1,9$:
$f(x_0 + \Delta x) = f(-1,9) = 4 \cdot (-1,9) + 5 = -7,6 + 5 = -2,6$.

4. Найдем приращение функции как разность полученных значений:
$\Delta f = f(-1,9) - f(-2) = -2,6 - (-3) = -2,6 + 3 = 0,4$.

Ответ: $0,4$.

2)

Для функции $f(x) = 3x^2 + x$ в точке $x_0 = 1$ с приращением аргумента $\Delta x = 0,2$ найдем приращение функции по той же формуле: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

1. Вычислим значение функции в начальной точке $x_0 = 1$:
$f(x_0) = f(1) = 3 \cdot 1^2 + 1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4$.

2. Определим новое значение аргумента $x_0 + \Delta x$:
$x_0 + \Delta x = 1 + 0,2 = 1,2$.

3. Вычислим значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x = 1,2$:
$f(x_0 + \Delta x) = f(1,2) = 3 \cdot (1,2)^2 + 1,2 = 3 \cdot 1,44 + 1,2 = 4,32 + 1,2 = 5,52$.

4. Найдем приращение функции:
$\Delta f = f(1,2) - f(1) = 5,52 - 4 = 1,52$.

Ответ: $1,52$.

3)

Для функции $f(x) = \cos x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$ с приращением аргумента $\Delta x = \frac{\pi}{12}$ найдем приращение функции: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

1. Вычислим значение функции в начальной точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:
$f(x_0) = f(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Определим новое значение аргумента $x_0 + \Delta x$:
$x_0 + \Delta x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.

3. Вычислим значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x = \frac{\pi}{3}$:
$f(x_0 + \Delta x) = f(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

4. Найдем приращение функции:
$\Delta f = f(\frac{\pi}{3}) - f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{2}}{2}$.

270. Для функции $f(x) = 5 - 3x$ и точки $x_0$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

Дана функция $f(x) = 5 - 3x$ и произвольная точка $x_0$. Для решения задачи найдем приращение функции $\Delta f$ и его отношение к приращению аргумента $\Delta x$.

$\frac{\Delta f}{\Delta x}$

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ определяется как разность значений функции в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.
Найдем значения функции в этих точках:
$f(x_0) = 5 - 3x_0$
$f(x_0 + \Delta x) = 5 - 3(x_0 + \Delta x) = 5 - 3x_0 - 3\Delta x$.
Теперь вычислим приращение функции $\Delta f$:
$\Delta f = (5 - 3x_0 - 3\Delta x) - (5 - 3x_0) = 5 - 3x_0 - 3\Delta x - 5 + 3x_0 = -3\Delta x$.
Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-3\Delta x}{\Delta x} = -3$.
Ответ: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -3$.

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$

Теперь найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$. Этот предел по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Используя результат, полученный в предыдущем пункте:
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-3)$.
Предел постоянной величины (константы) равен самой этой величине.
$\lim_{\Delta x \to 0} (-3) = -3$.
Ответ: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = -3$.

271. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 4t^2 + 2$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите мгновенную скорость материальной точки в момент времени $t_0 = 3 \text{ с.}$

Мгновенная скорость материальной точки $v(t)$ есть первая производная от функции перемещения $s(t)$ по времени $t$. Физический смысл производной заключается в скорости изменения функции.

Закон движения задан функцией: $s(t) = 4t^2 + 2$.

Для нахождения функции скорости $v(t)$ необходимо найти производную от функции $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = (4t^2 + 2)'$

Используя правила дифференцирования (производная суммы равна сумме производных, константа выносится за знак производной, производная константы равна нулю, а производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$), получаем:

$v(t) = (4t^2)' + (2)' = 4 \cdot (t^2)' + 0 = 4 \cdot 2t = 8t$.

Таким образом, функция скорости имеет вид $v(t) = 8t$.

Чтобы найти мгновенную скорость в момент времени $t_0 = 3$ с, нужно подставить это значение в найденную функцию скорости:

$v(3) = 8 \cdot 3 = 24$ (м/с).

Ответ: 24 м/с.

272. Найдите угловой коэффициент:

1) секущей графика функции $y = x^2 + 1$, проходящей через точки графика с абсциссами $x_0 = 1$ и $x_1 = 1,3$;

2) касательной к графику функции $y = x^2 + 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

1) Угловой коэффициент секущей, проходящей через две точки графика функции $(x_0, f(x_0))$ и $(x_1, f(x_1))$, вычисляется по формуле:
$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$
Дана функция $y = f(x) = x^2 + 1$ и точки с абсциссами $x_0 = 1$ и $x_1 = 1,3$.
Сначала найдем ординаты (значения функции) для этих точек:
$y_0 = f(x_0) = f(1) = 1^2 + 1 = 2$
$y_1 = f(x_1) = f(1,3) = (1,3)^2 + 1 = 1,69 + 1 = 2,69$
Теперь подставим найденные значения в формулу для углового коэффициента секущей:
$k = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{2,69 - 2}{1,3 - 1} = \frac{0,69}{0,3} = 2,3$
Ответ: 2,3

2) Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке: $k = f'(x_0)$.
Дана функция $y = f(x) = x^2 + 1$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (x^2 + 1)' = (x^2)' + (1)' = 2x + 0 = 2x$
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$, чтобы найти угловой коэффициент касательной:
$k = f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$
Ответ: 2