Страница 94 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

245. Найдите область определения функции:

1) $y = \arccos(4 + x)$;

2) $y = \arcsin(3 - x^2)$;

3) $y = \text{arcctg } \frac{5}{\sqrt{x-1}}$.

1) Дана функция $y = \arccos(4 + x)$. Область определения функции арккосинус, $y = \arccos(a)$, задается условием $|a| \le 1$, что эквивалентно двойному неравенству $-1 \le a \le 1$. В данном случае аргумент $a = 4 + x$. Следовательно, для нахождения области определения исходной функции необходимо решить двойное неравенство:

$-1 \le 4 + x \le 1$

Вычтем 4 из всех частей неравенства, чтобы выделить $x$:

$-1 - 4 \le 4 + x - 4 \le 1 - 4$

$-5 \le x \le -3$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$ в отрезке от -5 до -3, включая концы.

Ответ: $x \in [-5, -3]$.

2) Дана функция $y = \arcsin(3 - x^2)$. Область определения функции арксинус, $y = \arcsin(a)$, также задается условием $|a| \le 1$, или $-1 \le a \le 1$. В этом случае аргумент $a = 3 - x^2$. Подставим его в неравенство:

$-1 \le 3 - x^2 \le 1$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} 3 - x^2 \ge -1 \\ 3 - x^2 \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$3 - x^2 \ge -1 \implies 4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 - 4 \le 0 \implies (x-2)(x+2) \le 0$

Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-2, 2]$.

Решим второе неравенство системы:

$3 - x^2 \le 1 \implies 2 - x^2 \le 0 \implies x^2 - 2 \ge 0 \implies (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \ge 0$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$.

Для нахождения итоговой области определения найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in [-2, 2] \cap ((-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty))$.

Пересечением является объединение отрезков $[-2, -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}, 2]$.

Ответ: $x \in [-2, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, 2]$.

3) Дана функция $y = \operatorname{arcctg}\frac{5}{\sqrt{x - 1}}$. Область определения функции арккотангенс $y = \operatorname{arcctg}(a)$ — это все действительные числа, $a \in (-\infty, +\infty)$. Поэтому ограничения на область определения накладываются только выражением, стоящим в аргументе, то есть дробью $\frac{5}{\sqrt{x - 1}}$.

Для этого выражения существуют два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\sqrt{x - 1} \ne 0$.

Эти два условия можно объединить в одно строгое неравенство: подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля.

$x - 1 > 0$

$x > 1$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, которые строго больше 1.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

246. Найдите область значений функции:

1) $y = 2\arccos x - \frac{\pi}{6}$;

2) $y = 3 - 4 \text{arctg } 4x.$

1) $y = 2\arccos x - \frac{\pi}{6}$

Чтобы найти область значений функции, мы исходим из области значений основной функции $\arccos x$.
Область значений арккосинуса: $E(\arccos x) = [0, \pi]$.
Это означает, что для любого $x$ из области определения (то есть $x \in [-1, 1]$) выполняется двойное неравенство: $0 \le \arccos x \le \pi$.
Теперь последовательно применим к этому неравенству преобразования, которые задают нашу функцию.
1. Умножим все части неравенства на 2. Так как 2 > 0, знаки неравенства не меняются:
$2 \cdot 0 \le 2\arccos x \le 2 \cdot \pi$
$0 \le 2\arccos x \le 2\pi$
2. Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:
$0 - \frac{\pi}{6} \le 2\arccos x - \frac{\pi}{6} \le 2\pi - \frac{\pi}{6}$
$-\frac{\pi}{6} \le y \le \frac{12\pi}{6} - \frac{\pi}{6}$
$-\frac{\pi}{6} \le y \le \frac{11\pi}{6}$
Таким образом, область значений данной функции — это отрезок $[-\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}]$.
Ответ: $E(y) = [-\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}]$.

2) $y = 3 - 4 \operatorname{arctg} 4x$

Найдем область значений, начав с области значений основной функции $\operatorname{arctg} u$, где $u = 4x$.
Область значений арктангенса: $E(\operatorname{arctg} u) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Поскольку аргумент $4x$ может принимать любые действительные значения (так как область определения $x$ — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$), для $\operatorname{arctg} 4x$ выполняется строгое двойное неравенство: $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} 4x < \frac{\pi}{2}$.
Применим к этому неравенству заданные преобразования.
1. Умножим все части неравенства на -4. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-4 \cdot (-\frac{\pi}{2}) > -4\operatorname{arctg} 4x > -4 \cdot \frac{\pi}{2}$
$2\pi > -4\operatorname{arctg} 4x > -2\pi$
Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-2\pi < -4\operatorname{arctg} 4x < 2\pi$
2. Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$3 - 2\pi < 3 - 4\operatorname{arctg} 4x < 3 + 2\pi$
$3 - 2\pi < y < 3 + 2\pi$
Следовательно, область значений данной функции — это интервал $(3 - 2\pi, 3 + 2\pi)$.
Ответ: $E(y) = (3 - 2\pi, 3 + 2\pi)$.

247. Решите уравнение:

1) $\arccos x = \frac{5\pi}{6}$;

2) $\text{arcctg}(x - 2) = \frac{3\pi}{4}$;

3) $\arcsin (4x + 3) = -\frac{\pi}{6}$.

1) $\arccos x = \frac{5\pi}{6}$

По определению арккосинуса, если $\arccos a = b$, то $\cos b = a$, при этом значение $b$ должно принадлежать отрезку $[0; \pi]$.

В данном уравнении значение $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, поэтому уравнение имеет решение.

Чтобы найти $x$, возьмем косинус от обеих частей уравнения:

$x = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$

Для вычисления значения косинуса воспользуемся формулой приведения: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Так как значение $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

2) $\operatorname{arcctg}(x - 2) = \frac{3\pi}{4}$

По определению арккотангенса, если $\operatorname{arcctg} a = b$, то $\operatorname{ctg} b = a$, при этом значение $b$ должно принадлежать интервалу $(0; \pi)$.

В данном уравнении значение $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(0; \pi)$, поэтому уравнение имеет решение.

Чтобы найти выражение $x - 2$, возьмем котангенс от обеих частей уравнения:

$x - 2 = \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{4}\right)$

Для вычисления значения котангенса воспользуемся формулой приведения: $\operatorname{ctg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$.

$\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Так как значение $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$, получаем:

$x - 2 = -1$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x = -1 + 2$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$

3) $\arcsin(4x + 3) = -\frac{\pi}{6}$

По определению арксинуса, если $\arcsin a = b$, то $\sin b = a$, при этом значение $b$ должно принадлежать отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.

В данном уравнении значение $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, поэтому уравнение имеет решение.

Чтобы найти выражение $4x+3$, возьмем синус от обеих частей уравнения:

$4x + 3 = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

Так как синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, имеем:

$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Так как значение $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, получаем:

$4x + 3 = -\frac{1}{2}$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$4x = -\frac{1}{2} - 3$

$4x = -\frac{1}{2} - \frac{6}{2}$

$4x = -\frac{7}{2}$

$x = -\frac{7}{2} \div 4 = -\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{4}$

$x = -\frac{7}{8}$

Ответ: $x = -\frac{7}{8}$

248. Вычислите:

1) $\sin \left(\arccos \frac{3}{7}\right);$

2) $\cos \left(\arcsin \frac{4}{9}\right);$

3) $\cos(\operatorname{arctg} 4);$

4) $\sin(\operatorname{arcctg}(-5));$

5) $\operatorname{tg}\left(\arccos \frac{2}{3}\right);$

6) $\operatorname{tg}\left(\operatorname{arcctg} \frac{11}{14}\right).$

1) Обозначим $ \alpha = \arccos\frac{3}{7} $. Из определения арккосинуса следует, что $ \cos\alpha = \frac{3}{7} $ и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ [0, \pi] $.
Для нахождения $ \sin\left(\arccos\frac{3}{7}\right) $, то есть $ \sin\alpha $, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
Отсюда $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $. Подставим известное значение косинуса:
$ \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{7}\right)^2 = 1 - \frac{9}{49} = \frac{49 - 9}{49} = \frac{40}{49} $.
Поскольку $ \alpha \in [0, \pi] $, значение $ \sin\alpha $ является неотрицательным. Таким образом:
$ \sin\alpha = \sqrt{\frac{40}{49}} = \frac{\sqrt{40}}{7} = \frac{\sqrt{4 \cdot 10}}{7} = \frac{2\sqrt{10}}{7} $.
Ответ: $ \frac{2\sqrt{10}}{7} $.

2) Обозначим $ \alpha = \arcsin\frac{4}{9} $. По определению арксинуса, $ \sin\alpha = \frac{4}{9} $ и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
Для нахождения $ \cos\left(\arcsin\frac{4}{9}\right) $, то есть $ \cos\alpha $, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
Отсюда $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $. Подставим известное значение синуса:
$ \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{4}{9}\right)^2 = 1 - \frac{16}{81} = \frac{81 - 16}{81} = \frac{65}{81} $.
Поскольку $ \alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, значение $ \cos\alpha $ является неотрицательным. Таким образом:
$ \cos\alpha = \sqrt{\frac{65}{81}} = \frac{\sqrt{65}}{9} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{65}}{9} $.

3) Обозначим $ \alpha = \mathrm{arctg}\,4 $. По определению арктангенса, $ \mathrm{tg}\,\alpha = 4 $ и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Для нахождения $ \cos\alpha $ воспользуемся тождеством, связывающим тангенс и косинус: $ 1 + \mathrm{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $.
Подставим известное значение тангенса:
$ \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + 4^2 = 1 + 16 = 17 $.
Отсюда $ \cos^2\alpha = \frac{1}{17} $.
Поскольку $ \mathrm{tg}\,\alpha = 4 > 0 $, угол $ \alpha $ находится в первой четверти $ (0, \frac{\pi}{2}) $, где $ \cos\alpha > 0 $. Таким образом:
$ \cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{17}}{17} $.

4) Обозначим $ \alpha = \mathrm{arcctg}(-5) $. По определению арккотангенса, $ \mathrm{ctg}\,\alpha = -5 $ и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ (0, \pi) $.
Для нахождения $ \sin\alpha $ воспользуемся тождеством, связывающим котангенс и синус: $ 1 + \mathrm{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} $.
Подставим известное значение котангенса:
$ \frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26 $.
Отсюда $ \sin^2\alpha = \frac{1}{26} $.
Поскольку $ \alpha \in (0, \pi) $, значение $ \sin\alpha $ является положительным. Таким образом:
$ \sin\alpha = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{26}}{26} $.

5) Обозначим $ \alpha = \arccos\frac{2}{3} $. По определению арккосинуса, $ \cos\alpha = \frac{2}{3} $ и $ \alpha \in [0, \pi] $.
Сначала найдем $ \sin\alpha $. Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $:
$ \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $.
Поскольку $ \cos\alpha = \frac{2}{3} > 0 $, угол $ \alpha $ находится в первой четверти $ [0, \frac{\pi}{2}) $, где $ \sin\alpha \ge 0 $. Следовательно, $ \sin\alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} $.
Теперь найдем $ \mathrm{tg}\,\alpha $ по определению: $ \mathrm{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.
$ \mathrm{tg}\,\alpha = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{5}}{2} $.

6) Для вычисления $ \mathrm{tg}\left(\mathrm{arcctg}\frac{11}{14}\right) $ воспользуемся тождеством $ \mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}\,x) = \frac{1}{x} $, которое верно для любого $ x \neq 0 $.
В данном случае $ x = \frac{11}{14} $.
$ \mathrm{tg}\left(\mathrm{arcctg}\frac{11}{14}\right) = \frac{1}{\frac{11}{14}} = \frac{14}{11} $.
Ответ: $ \frac{14}{11} $.

249. Решите уравнение:

1) $2\cos^2 \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - 1 = 0$;

2) $7\sin^2 3x + 6\sin 3x - 1 = 0$;

3) $3\cot^2 5x - 1 = 0$;

4) $\tan^2 4x - 5\tan 4x - 6 = 0$.

1) $2\cos^2\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2} - 1 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\cos\frac{x}{2}$. Выполним замену переменной: пусть $t = \cos\frac{x}{2}$, при этом $|t| \le 1$.
Уравнение примет вид: $2t^2 - t - 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
Найдем корни квадратного уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{1 + 3}{4} = 1$
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Выполним обратную замену.
Получаем совокупность двух уравнений:
1. $\cos\frac{x}{2} = 1 \implies \frac{x}{2} = 2\pi n, n \in Z \implies x = 4\pi n, n \in Z$.
2. $\cos\frac{x}{2} = -\frac{1}{2} \implies \frac{x}{2} = \pm\arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in Z \implies \frac{x}{2} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z \implies x = \pm\frac{4\pi}{3} + 4\pi k, k \in Z$.
Ответ: $x = 4\pi n, n \in Z; x = \pm\frac{4\pi}{3} + 4\pi k, k \in Z$.

2) $7\sin^2 3x + 6\sin 3x - 1 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\sin 3x$. Выполним замену переменной: пусть $t = \sin 3x$, при этом $|t| \le 1$.
Уравнение примет вид: $7t^2 + 6t - 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64$.
Найдем корни квадратного уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{64}}{14} = \frac{-6 - 8}{14} = -1$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{64}}{14} = \frac{-6 + 8}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Выполним обратную замену.
Получаем совокупность двух уравнений:
1. $\sin 3x = -1 \implies 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z \implies x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in Z$.
2. $\sin 3x = \frac{1}{7} \implies 3x = (-1)^n \arcsin\frac{1}{7} + \pi n, n \in Z \implies x = \frac{(-1)^n}{3}\arcsin\frac{1}{7} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in Z; x = \frac{(-1)^n}{3}\arcsin\frac{1}{7} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.

3) $3\operatorname{ctg}^2 5x - 1 = 0$
Преобразуем уравнение:
$3\operatorname{ctg}^2 5x = 1$
$\operatorname{ctg}^2 5x = \frac{1}{3}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$\operatorname{ctg} 5x = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$
Данное уравнение равносильно совокупности $5x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.
Разделив на 5, получаем решение:
$x = \pm\frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}, n \in Z$.
Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}, n \in Z$.

4) $\operatorname{tg}^2 4x - 5\operatorname{tg} 4x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\operatorname{tg} 4x$. Выполним замену переменной: пусть $t = \operatorname{tg} 4x$.
Уравнение примет вид: $t^2 - 5t - 6 = 0$.
По теореме, обратной теореме Виета, находим корни:
$t_1 + t_2 = 5$ и $t_1 \cdot t_2 = -6$, откуда $t_1 = 6$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену.
Получаем совокупность двух уравнений:
1. $\operatorname{tg} 4x = 6 \implies 4x = \operatorname{arctg} 6 + \pi n, n \in Z \implies x = \frac{1}{4}\operatorname{arctg} 6 + \frac{\pi n}{4}, n \in Z$.
2. $\operatorname{tg} 4x = -1 \implies 4x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k, k \in Z \implies 4x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z \implies x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{1}{4}\operatorname{arctg} 6 + \frac{\pi n}{4}, n \in Z; x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in Z$.

250. Решите уравнение:

1) $2\cos^2 \frac{x}{3} + 5\sin \frac{x}{3} + 1 = 0;$

2) $5\cos 14x + \cos 7x - 4 = 0;$

3) $2\cos^2 10x - 6\cos^2 5x + 1 = 0;$

4) $2\operatorname{tg} \frac{3x}{5} - 5\operatorname{ctg} \frac{3x}{5} = 3;$

5) $\operatorname{ctg}^4 2x + 3\operatorname{ctg}^2 2x - 4 = 0;$

6) $\frac{1}{\cos^2 4x} - 6\operatorname{tg} 4x + 7 = 0;$

7) $3\operatorname{ctg}^2 6x - \frac{4}{\sin 6x} + 4 = 0;$

8) $4\cos^2 5x + 3\operatorname{tg}^2 5x - 5 = 0.$

1) $2\cos^2\frac{x}{3} + 5\sin\frac{x}{3} + 1 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, чтобы привести уравнение к одной функции.
$2(1 - \sin^2\frac{x}{3}) + 5\sin\frac{x}{3} + 1 = 0$
$2 - 2\sin^2\frac{x}{3} + 5\sin\frac{x}{3} + 1 = 0$
$2\sin^2\frac{x}{3} - 5\sin\frac{x}{3} - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin\frac{x}{3}$, где $-1 \le t \le 1$.
$2t^2 - 5t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Корень $t_2 = 3$ не удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\sin\frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$
$\frac{x}{3} = (-1)^{n} \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^{n} (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = 3((-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n) = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{2} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $5\cos 14x + \cos 7x - 4 = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$. В нашем случае $\cos 14x = 2\cos^2 7x - 1$.
$5(2\cos^2 7x - 1) + \cos 7x - 4 = 0$
$10\cos^2 7x - 5 + \cos 7x - 4 = 0$
$10\cos^2 7x + \cos 7x - 9 = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = \cos 7x$, где $-1 \le t \le 1$.
$10t^2 + t - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-9) = 1 + 360 = 361 = 19^2$.
$t_1 = \frac{-1 - 19}{20} = \frac{-20}{20} = -1$
$t_2 = \frac{-1 + 19}{20} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$

Оба корня удовлетворяют условию $-1 \le t \le 1$. Возвращаемся к замене:
1) $\cos 7x = -1$
$7x = \pi + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi m}{7} = \frac{\pi(1+2m)}{7}$, где $m \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos 7x = \frac{9}{10}$
$7x = \pm \arccos\frac{9}{10} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{1}{7} \arccos\frac{9}{10} + \frac{2\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi(1+2m)}{7}, m \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{1}{7} \arccos\frac{9}{10} + \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.

3) $2\cos^2 10x - 6\cos^2 5x + 1 = 0$

Используем формулу $\cos 10x = 2\cos^2 5x - 1$.
$2(2\cos^2 5x - 1)^2 - 6\cos^2 5x + 1 = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = \cos^2 5x$, где $0 \le t \le 1$.
$2(2t - 1)^2 - 6t + 1 = 0$
$2(4t^2 - 4t + 1) - 6t + 1 = 0$
$8t^2 - 8t + 2 - 6t + 1 = 0$
$8t^2 - 14t + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 196 - 96 = 100 = 10^2$.
$t_1 = \frac{14 - 10}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{14 + 10}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

Корень $t_2 = 3/2$ не удовлетворяет условию $0 \le t \le 1$.
Возвращаемся к замене:
$\cos^2 5x = \frac{1}{4}$
$\cos 5x = \pm \frac{1}{2}$

Это можно объединить в одну серию решений:
$5x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $2\tg\frac{3x}{5} - 5\ctg\frac{3x}{5} = 3$

Используем тождество $\ctg\alpha = \frac{1}{\tg\alpha}$. ОДЗ: $\frac{3x}{5} \ne \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
$2\tg\frac{3x}{5} - \frac{5}{\tg\frac{3x}{5}} - 3 = 0$

Пусть $t = \tg\frac{3x}{5}$, $t \ne 0$.
$2t - \frac{5}{t} - 3 = 0$
Умножим на $t$:
$2t^2 - 5 - 3t = 0$
$2t^2 - 3t - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{3 - 7}{4} = -1$
$t_2 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Возвращаемся к замене:
1) $\tg\frac{3x}{5} = -1$
$\frac{3x}{5} = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{5}{3}(-\frac{\pi}{4} + \pi m) = -\frac{5\pi}{12} + \frac{5\pi m}{3}$, где $m \in \mathbb{Z}$.
2) $\tg\frac{3x}{5} = \frac{5}{2}$
$\frac{3x}{5} = \arctan\frac{5}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{5}{3}(\arctan\frac{5}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{5\pi}{12} + \frac{5\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{5}{3}\arctan\frac{5}{2} + \frac{5\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

5) $\ctg^4 2x + 3\ctg^2 2x - 4 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно $\ctg 2x$. Сделаем замену $t = \ctg^2 2x$, где $t \ge 0$.
$t^2 + 3t - 4 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.
Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Возвращаемся к замене:
$\ctg^2 2x = 1$
$\ctg 2x = \pm 1$

Решения можно объединить:
$2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

6) $\frac{1}{\cos^2 4x} - 6\tg 4x + 7 = 0$

Используем тождество $\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tg^2\alpha$. ОДЗ: $\cos 4x \ne 0$.
$(1 + \tg^2 4x) - 6\tg 4x + 7 = 0$
$\tg^2 4x - 6\tg 4x + 8 = 0$

Сделаем замену $t = \tg 4x$.
$t^2 - 6t + 8 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.
Возвращаемся к замене:
1) $\tg 4x = 2$
$4x = \arctan 2 + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{1}{4}\arctan 2 + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\tg 4x = 4$
$4x = \arctan 4 + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{1}{4}\arctan 4 + \frac{\pi m}{4}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{4}\arctan 2 + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{1}{4}\arctan 4 + \frac{\pi m}{4}, m \in \mathbb{Z}$.

7) $3\ctg^2 6x - \frac{4}{\sin 6x} + 4 = 0$

Используем тождество $\ctg^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1 - \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}$. ОДЗ: $\sin 6x \ne 0$.
$3\frac{1 - \sin^2 6x}{\sin^2 6x} - \frac{4}{\sin 6x} + 4 = 0$

Сделаем замену $t = \sin 6x$, где $-1 \le t \le 1$ и $t \ne 0$.
$3\frac{1-t^2}{t^2} - \frac{4}{t} + 4 = 0$
Умножим уравнение на $t^2$:
$3(1-t^2) - 4t + 4t^2 = 0$
$3 - 3t^2 - 4t + 4t^2 = 0$
$t^2 - 4t + 3 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Корень $t_2 = 3$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
Возвращаемся к замене:
$\sin 6x = 1$
$6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
(Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $\sin 6x = 1 \ne 0$).

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

8) $4\cos^2 5x + 3\tg^2 5x - 5 = 0$

Используем тождество $\tg^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1 - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}$. ОДЗ: $\cos 5x \ne 0$.
$4\cos^2 5x + 3\frac{1 - \cos^2 5x}{\cos^2 5x} - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \cos^2 5x$, где $0 < t \le 1$.
$4t + \frac{3(1-t)}{t} - 5 = 0$
Умножим уравнение на $t$:
$4t^2 + 3(1-t) - 5t = 0$
$4t^2 + 3 - 3t - 5t = 0$
$4t^2 - 8t + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 = 4^2$.
$t_1 = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Корень $t_2 = 3/2$ не удовлетворяет условию $0 < t \le 1$.
Возвращаемся к замене:
$\cos^2 5x = \frac{1}{2}$
$\cos 5x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это соответствует углам, которые являются нечетными кратными $\frac{\pi}{4}$.
$5x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
(Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $\cos^2 5x = 1/2 \ne 0$).

Ответ: $x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}, n \in \mathbb{Z}$.