Номер 248, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

248. Вычислите:

1) $\sin \left(\arccos \frac{3}{7}\right);$

2) $\cos \left(\arcsin \frac{4}{9}\right);$

3) $\cos(\operatorname{arctg} 4);$

4) $\sin(\operatorname{arcctg}(-5));$

5) $\operatorname{tg}\left(\arccos \frac{2}{3}\right);$

6) $\operatorname{tg}\left(\operatorname{arcctg} \frac{11}{14}\right).$

1) Обозначим $ \alpha = \arccos\frac{3}{7} $. Из определения арккосинуса следует, что $ \cos\alpha = \frac{3}{7} $ и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ [0, \pi] $.
Для нахождения $ \sin\left(\arccos\frac{3}{7}\right) $, то есть $ \sin\alpha $, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
Отсюда $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $. Подставим известное значение косинуса:
$ \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{7}\right)^2 = 1 - \frac{9}{49} = \frac{49 - 9}{49} = \frac{40}{49} $.
Поскольку $ \alpha \in [0, \pi] $, значение $ \sin\alpha $ является неотрицательным. Таким образом:
$ \sin\alpha = \sqrt{\frac{40}{49}} = \frac{\sqrt{40}}{7} = \frac{\sqrt{4 \cdot 10}}{7} = \frac{2\sqrt{10}}{7} $.
Ответ: $ \frac{2\sqrt{10}}{7} $.

2) Обозначим $ \alpha = \arcsin\frac{4}{9} $. По определению арксинуса, $ \sin\alpha = \frac{4}{9} $ и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
Для нахождения $ \cos\left(\arcsin\frac{4}{9}\right) $, то есть $ \cos\alpha $, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
Отсюда $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $. Подставим известное значение синуса:
$ \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{4}{9}\right)^2 = 1 - \frac{16}{81} = \frac{81 - 16}{81} = \frac{65}{81} $.
Поскольку $ \alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, значение $ \cos\alpha $ является неотрицательным. Таким образом:
$ \cos\alpha = \sqrt{\frac{65}{81}} = \frac{\sqrt{65}}{9} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{65}}{9} $.

3) Обозначим $ \alpha = \mathrm{arctg}\,4 $. По определению арктангенса, $ \mathrm{tg}\,\alpha = 4 $ и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Для нахождения $ \cos\alpha $ воспользуемся тождеством, связывающим тангенс и косинус: $ 1 + \mathrm{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $.
Подставим известное значение тангенса:
$ \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + 4^2 = 1 + 16 = 17 $.
Отсюда $ \cos^2\alpha = \frac{1}{17} $.
Поскольку $ \mathrm{tg}\,\alpha = 4 > 0 $, угол $ \alpha $ находится в первой четверти $ (0, \frac{\pi}{2}) $, где $ \cos\alpha > 0 $. Таким образом:
$ \cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{17}}{17} $.

4) Обозначим $ \alpha = \mathrm{arcctg}(-5) $. По определению арккотангенса, $ \mathrm{ctg}\,\alpha = -5 $ и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ (0, \pi) $.
Для нахождения $ \sin\alpha $ воспользуемся тождеством, связывающим котангенс и синус: $ 1 + \mathrm{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} $.
Подставим известное значение котангенса:
$ \frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26 $.
Отсюда $ \sin^2\alpha = \frac{1}{26} $.
Поскольку $ \alpha \in (0, \pi) $, значение $ \sin\alpha $ является положительным. Таким образом:
$ \sin\alpha = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{26}}{26} $.

5) Обозначим $ \alpha = \arccos\frac{2}{3} $. По определению арккосинуса, $ \cos\alpha = \frac{2}{3} $ и $ \alpha \in [0, \pi] $.
Сначала найдем $ \sin\alpha $. Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $:
$ \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $.
Поскольку $ \cos\alpha = \frac{2}{3} > 0 $, угол $ \alpha $ находится в первой четверти $ [0, \frac{\pi}{2}) $, где $ \sin\alpha \ge 0 $. Следовательно, $ \sin\alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} $.
Теперь найдем $ \mathrm{tg}\,\alpha $ по определению: $ \mathrm{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.
$ \mathrm{tg}\,\alpha = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{5}}{2} $.

6) Для вычисления $ \mathrm{tg}\left(\mathrm{arcctg}\frac{11}{14}\right) $ воспользуемся тождеством $ \mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}\,x) = \frac{1}{x} $, которое верно для любого $ x \neq 0 $.
В данном случае $ x = \frac{11}{14} $.
$ \mathrm{tg}\left(\mathrm{arcctg}\frac{11}{14}\right) = \frac{1}{\frac{11}{14}} = \frac{14}{11} $.
Ответ: $ \frac{14}{11} $.