Номер 243, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

243. Вычислите:

1) $\operatorname{tg}\left(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}\right);$

2) $\cos(2 \operatorname{arctg} 1);$

3) $\operatorname{tg}\left(5 \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{4} \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

4) $\sin\left(\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})+\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})+\arcsin \frac{1}{2}\right).$

1) Вычислим значение выражения $ \operatorname{tg}(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}) $.
Сначала найдем значение внутреннего выражения $ \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} $.
По определению арккосинуса, $ \arccos x $ — это угол $ \alpha $ из промежутка $ [0; \pi] $, для которого $ \cos \alpha = x $.
Нам нужно найти угол $ \alpha \in [0; \pi] $, такой что $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Этим углом является $ \frac{\pi}{4} $.
Следовательно, $ \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$ \operatorname{tg}(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) $.
Значение тангенса для угла $ \frac{\pi}{4} $ равно 1.
$ \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $.
Ответ: 1

2) Вычислим значение выражения $ \cos(2 \operatorname{arctg} 1) $.
Сначала найдем значение $ \operatorname{arctg} 1 $.
По определению арктангенса, $ \operatorname{arctg} x $ — это угол $ \alpha $ из промежутка $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, для которого $ \operatorname{tg} \alpha = x $.
Нам нужно найти угол $ \alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, такой что $ \operatorname{tg} \alpha = 1 $.
Этим углом является $ \frac{\pi}{4} $.
Следовательно, $ \operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4} $.
Подставим это значение в выражение:
$ \cos(2 \cdot \operatorname{arctg} 1) = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) $.
Значение косинуса для угла $ \frac{\pi}{2} $ равно 0.
$ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $.
Ответ: 0

3) Вычислим значение выражения $ \operatorname{tg}(5\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{4}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}) $.
Найдем значения аркфункций в скобках по отдельности.
1. $ \operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} $. Это угол из промежутка $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{3} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{6} $.
2. $ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} $. Это угол из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{3} $.
Подставим найденные значения в аргумент тангенса:
$ 5\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{4}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{12} $.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$ \frac{5\pi \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{\pi}{12} = \frac{10\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} $.
Сократим дробь: $ \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4} $.
Теперь вычислим значение исходного выражения:
$ \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4}) = -1 $.
Ответ: -1

4) Вычислим значение выражения $ \sin(\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) + \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \arcsin\frac{1}{2}) $.
Для вычисления суммы первых двух слагаемых в скобках воспользуемся тождеством: $ \operatorname{arctg}(x) + \operatorname{arcctg}(x) = \frac{\pi}{2} $.
При $ x = -\sqrt{3} $ получаем: $ \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) + \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{2} $.
Теперь найдем значение $ \arcsin\frac{1}{2} $.
По определению арксинуса, это угол из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $ \frac{1}{2} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{6} $.
Подставим найденные значения в аргумент синуса:
$ \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} $.
Приведем к общему знаменателю 6:
$ \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} $.
Теперь вычислим значение исходного выражения:
$ \sin(\frac{2\pi}{3}) $.
Поскольку $ \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} $, то $ \sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $