Номер 236, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

236. Определите количество корней уравнения $ \sin 3x = a $ на промежутке $ \left[ -\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3} \right] $ в зависимости от значения $a$.

Для определения количества корней уравнения $\sin(3x) = a$ на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{3}]$, введем замену переменной $t = 3x$.

Найдем, в каких пределах изменяется переменная $t$, если $x$ принадлежит заданному отрезку:

Нижняя граница: $3 \cdot (-\frac{\pi}{12}) = -\frac{\pi}{4}$.

Верхняя граница: $3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi$.

Таким образом, задача сводится к нахождению количества корней уравнения $\sin(t) = a$ на отрезке $t \in [-\frac{\pi}{4}, \pi]$.

Проанализируем поведение функции $y = \sin(t)$ на этом отрезке.

• Начальное значение в точке $t = -\frac{\pi}{4}$: $y(-\frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• На отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ функция $\sin(t)$ монотонно возрастает от $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ до своего максимального значения $y(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
• На отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ функция $\sin(t)$ монотонно убывает от $1$ до $y(\pi) = \sin(\pi) = 0$.

Следовательно, область значений функции $y=\sin(t)$ на отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \pi]$ равна $[-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$.

Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y=\sin(t)$ и горизонтальной прямой $y=a$. Рассматривая поведение функции, получаем следующие случаи в зависимости от значения $a$:

При $a < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $a > 1$

В этом случае прямая $y=a$ не пересекает график функции $y=\sin(t)$ на данном отрезке, так как значение $a$ находится вне области значений функции $[-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$.

Ответ: 0 корней.

При $a \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cup \{1\}$

Если $a = 1$, прямая $y=1$ касается графика в точке максимума $t=\frac{\pi}{2}$, что дает один корень.

Если $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, прямая $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ пересекает график в граничной точке $t=-\frac{\pi}{4}$, что дает один корень.

Если $a \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$, прямая $y=a$ пересекает график только один раз на участке возрастания $(-\frac{\pi}{4}, 0)$.

Следовательно, во всех этих случаях уравнение имеет один корень.

Ответ: 1 корень.

При $a \in [0, 1)$

Если $a=0$, прямая $y=0$ пересекает график в точках $t=0$ и $t=\pi$, что дает два корня.

Если $a \in (0, 1)$, прямая $y=a$ пересекает график в двух точках: один раз на участке возрастания $(0, \frac{\pi}{2})$ и один раз на участке убывания $(\frac{\pi}{2}, \pi)$.

Следовательно, во всех этих случаях уравнение имеет два корня.

Ответ: 2 корня.