Страница 101 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

279. Касательная к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет угловой коэффициент $k$. Найдите $x_0$, если:

1) $f(x) = x^3$, $k = \frac{1}{12}$;

2) $f(x) = \sqrt[7]{x}$, $k = \frac{1}{7}$;

3) $f(x) = \sin x$, $k = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Условие задачи состоит в том, чтобы найти абсциссу $x_0$, в которой угловой коэффициент касательной $k$ к графику функции $f(x)$ равен заданному значению. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = x^3$ и угловой коэффициент $k = \frac{1}{12}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

Теперь приравняем значение производной в точке $x_0$ к заданному угловому коэффициенту $k$:

$f'(x_0) = k$

$3x_0^2 = \frac{1}{12}$.

Решим полученное уравнение относительно $x_0$:

$x_0^2 = \frac{1}{12 \cdot 3} = \frac{1}{36}$

$x_0 = \pm\sqrt{\frac{1}{36}}$

$x_0 = \pm\frac{1}{6}$.

Ответ: $x_0 = -\frac{1}{6}, x_0 = \frac{1}{6}$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt[7]{x}$ и угловой коэффициент $k = \frac{1}{7}$.

Представим функцию в виде степенной функции для удобства дифференцирования: $f(x) = x^{\frac{1}{7}}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^{\frac{1}{7}})' = \frac{1}{7}x^{\frac{1}{7}-1} = \frac{1}{7}x^{-\frac{6}{7}} = \frac{1}{7\sqrt[7]{x^6}}$.

Приравняем значение производной в точке $x_0$ к $k$:

$f'(x_0) = \frac{1}{7\sqrt[7]{x_0^6}} = \frac{1}{7}$.

Решим уравнение:

$7\sqrt[7]{x_0^6} = 7$

$\sqrt[7]{x_0^6} = 1$

Возведем обе части уравнения в седьмую степень:

$x_0^6 = 1^7$

$x_0^6 = 1$

Из этого уравнения следует, что $x_0 = 1$ или $x_0 = -1$.

Ответ: $x_0 = -1, x_0 = 1$.

3) Дана функция $f(x) = \sin x$ и угловой коэффициент $k = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Приравняем значение производной в точке $x_0$ к $k$:

$f'(x_0) = \cos x_0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Для нашего случая $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, а главное значение $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ равно $\frac{5\pi}{6}$.

Следовательно, общее решение для $x_0$:

$x_0 = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x_0 = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

280. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = \frac{1}{t^3}$. Найдите $s'(5)$. Какой механический смысл имеет найденная величина?

Найдите s'(5)

Задан закон движения материальной точки по координатной прямой: $s(t) = \frac{1}{t^3}$. Для нахождения производной $s'(t)$ представим функцию в виде степени: $s(t) = t^{-3}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:
$s'(t) = (t^{-3})' = -3 \cdot t^{-3-1} = -3t^{-4} = -\frac{3}{t^4}$.

Теперь найдем значение производной в точке $t=5$, подставив это значение в полученное выражение для $s'(t)$:
$s'(5) = -\frac{3}{5^4} = -\frac{3}{625}$.

Ответ: $s'(5) = -\frac{3}{625}$.

Какой механический смысл имеет найденная величина?

С механической точки зрения, производная от закона движения (координаты) по времени есть мгновенная скорость движения точки. Таким образом, $s'(t) = v(t)$, где $v(t)$ – мгновенная скорость в момент времени $t$.

Следовательно, найденная величина $s'(5)$ – это мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t=5$. Знак "минус" указывает на то, что в этот момент точка движется в направлении, противоположном положительному направлению координатной оси.

Ответ: Найденная величина $s'(5) = -\frac{3}{625}$ является мгновенной скоростью материальной точки в момент времени $t=5$.

281. Найдите производную функции:

1) $y = 4x^6 - 2x^4 + 3x^2 + 6;$

2) $y = \frac{1}{4}x^8 + 6\sqrt{x} - 7x;$

3) $y = x^2 + \frac{2}{x};$

4) $y = \frac{3}{x^4} - \frac{6}{x^2};$

5) $y = \frac{x^9}{9} + \sqrt{2}\cos x + \tan\frac{\pi}{4} - 2x^4;$

6) $y = \tan x - \cot x.$

1) Дана функция $y = 4x^6 - 2x^4 + 3x^2 + 6$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы/разности функций и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. Производная константы равна нулю.
$y' = (4x^6 - 2x^4 + 3x^2 + 6)' = (4x^6)' - (2x^4)' + (3x^2)' + (6)'$
$y' = 4 \cdot 6x^{6-1} - 2 \cdot 4x^{4-1} + 3 \cdot 2x^{2-1} + 0$
$y' = 24x^5 - 8x^3 + 6x$
Ответ: $24x^5 - 8x^3 + 6x$.

2) Дана функция $y = \frac{1}{4}x^8 + 6\sqrt{x} - 7x$.
Представим $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$ и применим те же правила дифференцирования.
$y' = (\frac{1}{4}x^8 + 6x^{\frac{1}{2}} - 7x)' = (\frac{1}{4}x^8)' + (6x^{\frac{1}{2}})' - (7x)'$
$y' = \frac{1}{4} \cdot 8x^{8-1} + 6 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} - 7 \cdot 1x^{1-1}$
$y' = 2x^7 + 3x^{-\frac{1}{2}} - 7$
$y' = 2x^7 + \frac{3}{\sqrt{x}} - 7$
Ответ: $2x^7 + \frac{3}{\sqrt{x}} - 7$.

3) Дана функция $y = x^2 + \frac{2}{x}$.
Представим $\frac{2}{x}$ как $2x^{-1}$ и используем правило производной степенной функции.
$y' = (x^2 + 2x^{-1})' = (x^2)' + (2x^{-1})'$
$y' = 2x^{2-1} + 2 \cdot (-1)x^{-1-1}$
$y' = 2x - 2x^{-2}$
$y' = 2x - \frac{2}{x^2}$
Ответ: $2x - \frac{2}{x^2}$.

4) Дана функция $y = \frac{3}{x^4} - \frac{6}{x^2}$.
Представим функцию в виде $y = 3x^{-4} - 6x^{-2}$ и применим правило производной степенной функции.
$y' = (3x^{-4} - 6x^{-2})' = (3x^{-4})' - (6x^{-2})'$
$y' = 3 \cdot (-4)x^{-4-1} - 6 \cdot (-2)x^{-2-1}$
$y' = -12x^{-5} + 12x^{-3}$
$y' = \frac{12}{x^3} - \frac{12}{x^5}$
Ответ: $\frac{12}{x^3} - \frac{12}{x^5}$.

5) Дана функция $y = \frac{x^9}{9} + \sqrt{2}\cos x + \tg\frac{\pi}{4} - 2x^4$.
Учтем, что $\tg\frac{\pi}{4} = 1$ является константой, и её производная равна нулю. Производная $(\cos x)' = -\sin x$.
$y' = (\frac{1}{9}x^9)' + (\sqrt{2}\cos x)' + (\tg\frac{\pi}{4})' - (2x^4)'$
$y' = \frac{1}{9} \cdot 9x^{9-1} + \sqrt{2}(-\sin x) + 0 - 2 \cdot 4x^{4-1}$
$y' = x^8 - \sqrt{2}\sin x - 8x^3$
Ответ: $x^8 - \sqrt{2}\sin x - 8x^3$.

6) Дана функция $y = \tg x - \ctg x$.
Используем формулы производных тригонометрических функций: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
$y' = (\tg x - \ctg x)' = (\tg x)' - (\ctg x)'$
$y' = \frac{1}{\cos^2 x} - (-\frac{1}{\sin^2 x})$
$y' = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x}$
Можно привести к общему знаменателю: $y' = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x \sin^2 x}$. Оба варианта верны.
Ответ: $\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x}$.

282. Найдите производную функции:

1) $y = (x^3 + 4)(x^2 - 3);$

2) $y = \sqrt{x}(4x - 3);$

3) $y = (\sqrt{x} - 2)(5 - 6\sqrt{x});$

4) $y = (x^3 + x^2 - 4)(x^2 - 4x + 1);$

5) $y = x^2 \sin x;$

6) $y = x^3 \operatorname{ctg} x.$

1) Для нахождения производной функции $y = (x^3 + 4)(x^2 - 3)$ воспользуемся правилом производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^3 + 4$ и $v(x) = x^2 - 3$.
Найдём производные этих функций: $u' = (x^3 + 4)' = 3x^2$.
$v' = (x^2 - 3)' = 2x$.
Теперь подставим найденные производные в формулу:
$y' = u'v + uv' = (3x^2)(x^2 - 3) + (x^3 + 4)(2x)$.
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$y' = 3x^4 - 9x^2 + 2x^4 + 8x = 5x^4 - 9x^2 + 8x$.
Ответ: $5x^4 - 9x^2 + 8x$.

2) Для функции $y = \sqrt{x}(4x - 3)$ применим правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = 4x - 3$.
Найдём их производные: $u' = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$v' = (4x - 3)' = 4$.
Подставим в формулу:
$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}}(4x - 3) + \sqrt{x} \cdot 4 = \frac{4x - 3}{2\sqrt{x}} + 4\sqrt{x}$.
Приведём к общему знаменателю и упростим:
$y' = \frac{4x - 3}{2\sqrt{x}} + \frac{4\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{4x - 3 + 8x}{2\sqrt{x}} = \frac{12x - 3}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $\frac{12x - 3}{2\sqrt{x}}$.

3) Для функции $y = (\sqrt{x} - 2)(5 - 6\sqrt{x})$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = \sqrt{x} - 2$ и $v(x) = 5 - 6\sqrt{x}$.
Найдём их производные: $u' = (\sqrt{x} - 2)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$v' = (5 - 6\sqrt{x})' = -6 \cdot (\sqrt{x})' = -6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{3}{\sqrt{x}}$.
Подставим в формулу:
$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}}(5 - 6\sqrt{x}) + (\sqrt{x} - 2)(-\frac{3}{\sqrt{x}})$.
Раскроем скобки и упростим:
$y' = \frac{5}{2\sqrt{x}} - \frac{6\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{6}{\sqrt{x}} = \frac{5}{2\sqrt{x}} - 3 - 3 + \frac{6}{\sqrt{x}} = \frac{5}{2\sqrt{x}} + \frac{12}{2\sqrt{x}} - 6 = \frac{17}{2\sqrt{x}} - 6$.
Ответ: $\frac{17}{2\sqrt{x}} - 6$.

4) Для функции $y = (x^3 + x^2 - 4)(x^2 - 4x + 1)$ применим правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^3 + x^2 - 4$ и $v(x) = x^2 - 4x + 1$.
Найдём их производные:
$u' = (x^3 + x^2 - 4)' = 3x^2 + 2x$.
$v' = (x^2 - 4x + 1)' = 2x - 4$.
Подставим в формулу:
$y' = u'v + uv' = (3x^2 + 2x)(x^2 - 4x + 1) + (x^3 + x^2 - 4)(2x - 4)$.
Раскроем скобки:
$y' = (3x^4 - 12x^3 + 3x^2 + 2x^3 - 8x^2 + 2x) + (2x^4 - 4x^3 + 2x^3 - 4x^2 - 8x + 16)$.
Приведём подобные слагаемые:
$y' = (3x^4 - 10x^3 - 5x^2 + 2x) + (2x^4 - 2x^3 - 4x^2 - 8x + 16)$.
$y' = (3+2)x^4 + (-10-2)x^3 + (-5-4)x^2 + (2-8)x + 16 = 5x^4 - 12x^3 - 9x^2 - 6x + 16$.
Ответ: $5x^4 - 12x^3 - 9x^2 - 6x + 16$.

5) Для функции $y = x^2 \sin x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sin x$.
Найдём их производные:
$u' = (x^2)' = 2x$.
$v' = (\sin x)' = \cos x$.
Подставим в формулу:
$y' = u'v + uv' = (2x)(\sin x) + (x^2)(\cos x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$.
Ответ: $2x \sin x + x^2 \cos x$.

6) Для функции $y = x^3 \operatorname{ctg} x$ применим правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = \operatorname{ctg} x$.
Найдём их производные:
$u' = (x^3)' = 3x^2$.
$v' = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Подставим в формулу:
$y' = u'v + uv' = (3x^2)(\operatorname{ctg} x) + (x^3)(-\frac{1}{\sin^2 x}) = 3x^2 \operatorname{ctg} x - \frac{x^3}{\sin^2 x}$.
Ответ: $3x^2 \operatorname{ctg} x - \frac{x^3}{\sin^2 x}$.

283. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{6x + 5}{4 - 3x}$;

2) $y = \frac{x^2 - 4x}{x - 2}$;

3) $y = \frac{x + 2}{\sqrt{x}};$

4) $y = \frac{\sqrt{x}}{2x + 1};$

5) $y = \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x};$

6) $y = \frac{2x^2}{\sin x}$.

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{6x + 5}{4 - 3x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В нашем случае, $u(x) = 6x + 5$ и $v(x) = 4 - 3x$.
Находим производные числителя и знаменателя: $u'(x) = (6x + 5)' = 6$; $v'(x) = (4 - 3x)' = -3$.
Подставляем найденные значения в формулу производной частного:
$y' = \frac{(6x + 5)'(4 - 3x) - (6x + 5)(4 - 3x)'}{(4 - 3x)^2} = \frac{6(4 - 3x) - (6x + 5)(-3)}{(4 - 3x)^2}$
Упрощаем выражение в числителе:
$y' = \frac{24 - 18x - (-18x - 15)}{(4 - 3x)^2} = \frac{24 - 18x + 18x + 15}{(4 - 3x)^2} = \frac{39}{(4 - 3x)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{39}{(4 - 3x)^2}$.

2) Для функции $y = \frac{x^2 - 4x}{x - 2}$ применяем то же правило производной частного.
Здесь $u(x) = x^2 - 4x$ и $v(x) = x - 2$.
Их производные: $u'(x) = (x^2 - 4x)' = 2x - 4$; $v'(x) = (x - 2)' = 1$.
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(x^2 - 4x)'(x - 2) - (x^2 - 4x)(x - 2)'}{(x - 2)^2} = \frac{(2x - 4)(x - 2) - (x^2 - 4x) \cdot 1}{(x - 2)^2}$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые в числителе:
$y' = \frac{2x^2 - 4x - 4x + 8 - x^2 + 4x}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 8}{(x - 2)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{x^2 - 4x + 8}{(x - 2)^2}$.

3) Для функции $y = \frac{x + 2}{\sqrt{x}}$ используем правило производной частного.
Здесь $u(x) = x + 2$ и $v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$.
Их производные: $u'(x) = (x + 2)' = 1$; $v'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(x + 2)'(\sqrt{x}) - (x + 2)(\sqrt{x})'}{(\sqrt{x})^2} = \frac{1 \cdot \sqrt{x} - (x + 2) \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}$
Упростим числитель, умножив его и знаменатель на $2\sqrt{x}$:
$y' = \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} - (x+2)}{x \cdot 2\sqrt{x}} = \frac{2x - x - 2}{2x\sqrt{x}} = \frac{x - 2}{2x\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{x - 2}{2x\sqrt{x}}$.

4) Для функции $y = \frac{\sqrt{x}}{2x + 1}$ используем правило производной частного.
Здесь $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = 2x + 1$.
Их производные: $u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$; $v'(x) = 2$.
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(\sqrt{x})'(2x + 1) - \sqrt{x}(2x + 1)'}{(2x + 1)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(2x + 1) - \sqrt{x} \cdot 2}{(2x + 1)^2}$
Умножим числитель и знаменатель на $2\sqrt{x}$ для упрощения:
$y' = \frac{1 \cdot (2x + 1) - 2\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(2x + 1)^2} = \frac{2x + 1 - 4x}{2\sqrt{x}(2x + 1)^2} = \frac{1 - 2x}{2\sqrt{x}(2x + 1)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{1 - 2x}{2\sqrt{x}(2x + 1)^2}$.

5) Для функции $y = \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}$ используем правило производной частного.
Здесь $u(x) = 1 + \cos x$ и $v(x) = 1 - \cos x$.
Их производные: $u'(x) = (1 + \cos x)' = -\sin x$; $v'(x) = (1 - \cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$.
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(-\sin x)(1 - \cos x) - (1 + \cos x)(\sin x)}{(1 - \cos x)^2}$
Упростим числитель:
$y' = \frac{-\sin x + \sin x \cos x - \sin x - \sin x \cos x}{(1 - \cos x)^2} = \frac{-2\sin x}{(1 - \cos x)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{-2\sin x}{(1 - \cos x)^2}$.

6) Для функции $y = \frac{2x^2}{\sin x}$ используем правило производной частного.
Здесь $u(x) = 2x^2$ и $v(x) = \sin x$.
Их производные: $u'(x) = (2x^2)' = 4x$; $v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(2x^2)'(\sin x) - (2x^2)(\sin x)'}{(\sin x)^2} = \frac{4x \cdot \sin x - 2x^2 \cdot \cos x}{\sin^2 x}$
Можно вынести общий множитель $2x$ в числителе:
$y' = \frac{2x(2\sin x - x\cos x)}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = \frac{2x(2\sin x - x\cos x)}{\sin^2 x}$.