Номер 283, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

283. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{6x + 5}{4 - 3x}$;

2) $y = \frac{x^2 - 4x}{x - 2}$;

3) $y = \frac{x + 2}{\sqrt{x}};$

4) $y = \frac{\sqrt{x}}{2x + 1};$

5) $y = \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x};$

6) $y = \frac{2x^2}{\sin x}$.

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{6x + 5}{4 - 3x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В нашем случае, $u(x) = 6x + 5$ и $v(x) = 4 - 3x$.
Находим производные числителя и знаменателя: $u'(x) = (6x + 5)' = 6$; $v'(x) = (4 - 3x)' = -3$.
Подставляем найденные значения в формулу производной частного:
$y' = \frac{(6x + 5)'(4 - 3x) - (6x + 5)(4 - 3x)'}{(4 - 3x)^2} = \frac{6(4 - 3x) - (6x + 5)(-3)}{(4 - 3x)^2}$
Упрощаем выражение в числителе:
$y' = \frac{24 - 18x - (-18x - 15)}{(4 - 3x)^2} = \frac{24 - 18x + 18x + 15}{(4 - 3x)^2} = \frac{39}{(4 - 3x)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{39}{(4 - 3x)^2}$.

2) Для функции $y = \frac{x^2 - 4x}{x - 2}$ применяем то же правило производной частного.
Здесь $u(x) = x^2 - 4x$ и $v(x) = x - 2$.
Их производные: $u'(x) = (x^2 - 4x)' = 2x - 4$; $v'(x) = (x - 2)' = 1$.
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(x^2 - 4x)'(x - 2) - (x^2 - 4x)(x - 2)'}{(x - 2)^2} = \frac{(2x - 4)(x - 2) - (x^2 - 4x) \cdot 1}{(x - 2)^2}$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые в числителе:
$y' = \frac{2x^2 - 4x - 4x + 8 - x^2 + 4x}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 8}{(x - 2)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{x^2 - 4x + 8}{(x - 2)^2}$.

3) Для функции $y = \frac{x + 2}{\sqrt{x}}$ используем правило производной частного.
Здесь $u(x) = x + 2$ и $v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$.
Их производные: $u'(x) = (x + 2)' = 1$; $v'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(x + 2)'(\sqrt{x}) - (x + 2)(\sqrt{x})'}{(\sqrt{x})^2} = \frac{1 \cdot \sqrt{x} - (x + 2) \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}$
Упростим числитель, умножив его и знаменатель на $2\sqrt{x}$:
$y' = \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} - (x+2)}{x \cdot 2\sqrt{x}} = \frac{2x - x - 2}{2x\sqrt{x}} = \frac{x - 2}{2x\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{x - 2}{2x\sqrt{x}}$.

4) Для функции $y = \frac{\sqrt{x}}{2x + 1}$ используем правило производной частного.
Здесь $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = 2x + 1$.
Их производные: $u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$; $v'(x) = 2$.
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(\sqrt{x})'(2x + 1) - \sqrt{x}(2x + 1)'}{(2x + 1)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(2x + 1) - \sqrt{x} \cdot 2}{(2x + 1)^2}$
Умножим числитель и знаменатель на $2\sqrt{x}$ для упрощения:
$y' = \frac{1 \cdot (2x + 1) - 2\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(2x + 1)^2} = \frac{2x + 1 - 4x}{2\sqrt{x}(2x + 1)^2} = \frac{1 - 2x}{2\sqrt{x}(2x + 1)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{1 - 2x}{2\sqrt{x}(2x + 1)^2}$.

5) Для функции $y = \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}$ используем правило производной частного.
Здесь $u(x) = 1 + \cos x$ и $v(x) = 1 - \cos x$.
Их производные: $u'(x) = (1 + \cos x)' = -\sin x$; $v'(x) = (1 - \cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$.
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(-\sin x)(1 - \cos x) - (1 + \cos x)(\sin x)}{(1 - \cos x)^2}$
Упростим числитель:
$y' = \frac{-\sin x + \sin x \cos x - \sin x - \sin x \cos x}{(1 - \cos x)^2} = \frac{-2\sin x}{(1 - \cos x)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{-2\sin x}{(1 - \cos x)^2}$.

6) Для функции $y = \frac{2x^2}{\sin x}$ используем правило производной частного.
Здесь $u(x) = 2x^2$ и $v(x) = \sin x$.
Их производные: $u'(x) = (2x^2)' = 4x$; $v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(2x^2)'(\sin x) - (2x^2)(\sin x)'}{(\sin x)^2} = \frac{4x \cdot \sin x - 2x^2 \cdot \cos x}{\sin^2 x}$
Можно вынести общий множитель $2x$ в числителе:
$y' = \frac{2x(2\sin x - x\cos x)}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = \frac{2x(2\sin x - x\cos x)}{\sin^2 x}$.