Номер 279, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

279. Касательная к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет угловой коэффициент $k$. Найдите $x_0$, если:

1) $f(x) = x^3$, $k = \frac{1}{12}$;

2) $f(x) = \sqrt[7]{x}$, $k = \frac{1}{7}$;

3) $f(x) = \sin x$, $k = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Условие задачи состоит в том, чтобы найти абсциссу $x_0$, в которой угловой коэффициент касательной $k$ к графику функции $f(x)$ равен заданному значению. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = x^3$ и угловой коэффициент $k = \frac{1}{12}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

Теперь приравняем значение производной в точке $x_0$ к заданному угловому коэффициенту $k$:

$f'(x_0) = k$

$3x_0^2 = \frac{1}{12}$.

Решим полученное уравнение относительно $x_0$:

$x_0^2 = \frac{1}{12 \cdot 3} = \frac{1}{36}$

$x_0 = \pm\sqrt{\frac{1}{36}}$

$x_0 = \pm\frac{1}{6}$.

Ответ: $x_0 = -\frac{1}{6}, x_0 = \frac{1}{6}$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt[7]{x}$ и угловой коэффициент $k = \frac{1}{7}$.

Представим функцию в виде степенной функции для удобства дифференцирования: $f(x) = x^{\frac{1}{7}}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^{\frac{1}{7}})' = \frac{1}{7}x^{\frac{1}{7}-1} = \frac{1}{7}x^{-\frac{6}{7}} = \frac{1}{7\sqrt[7]{x^6}}$.

Приравняем значение производной в точке $x_0$ к $k$:

$f'(x_0) = \frac{1}{7\sqrt[7]{x_0^6}} = \frac{1}{7}$.

Решим уравнение:

$7\sqrt[7]{x_0^6} = 7$

$\sqrt[7]{x_0^6} = 1$

Возведем обе части уравнения в седьмую степень:

$x_0^6 = 1^7$

$x_0^6 = 1$

Из этого уравнения следует, что $x_0 = 1$ или $x_0 = -1$.

Ответ: $x_0 = -1, x_0 = 1$.

3) Дана функция $f(x) = \sin x$ и угловой коэффициент $k = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Приравняем значение производной в точке $x_0$ к $k$:

$f'(x_0) = \cos x_0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Для нашего случая $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, а главное значение $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ равно $\frac{5\pi}{6}$.

Следовательно, общее решение для $x_0$:

$x_0 = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x_0 = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.