Номер 273, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

273. Найдите производную функции:

1) $y = 4x + 1;$

2) $y = \frac{5 - x}{7};$

3) $y = -9;$

4) $y = x^{11};$

5) $y = \frac{1}{x^9};$

6) $y = x^{2,4};$

7) $y = x^{-3,1};$

8) $y = \sqrt[7]{x};$

9) $y = \sqrt[9]{x^8};$

10) $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^3}}.$

1) Для нахождения производной функции $y = 4x + 1$ используем правило производной суммы $(u+v)' = u' + v'$ и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)' = c \cdot u'$. Производная от $x$ равна 1, а производная от константы (числа 1) равна 0.
$y' = (4x + 1)' = (4x)' + (1)' = 4 \cdot (x)' + 0 = 4 \cdot 1 = 4$.
Ответ: $4$.

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{5 - x}{7}$ представим ее в виде разности двух дробей: $y = \frac{5}{7} - \frac{x}{7}$.
Теперь найдем производную, используя правило производной разности:
$y' = (\frac{5}{7} - \frac{x}{7})' = (\frac{5}{7})' - (\frac{1}{7}x)' = 0 - \frac{1}{7} \cdot (x)' = -\frac{1}{7} \cdot 1 = -\frac{1}{7}$.
Ответ: $-\frac{1}{7}$.

3) Функция $y = -9$ является константой (постоянной величиной). Производная любой константы равна нулю.
$y' = (-9)' = 0$.
Ответ: $0$.

4) Для нахождения производной функции $y = x^{11}$ используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=11$.
$y' = (x^{11})' = 11 \cdot x^{11-1} = 11x^{10}$.
Ответ: $11x^{10}$.

5) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{x^9}$ сначала представим ее в виде степенной функции с отрицательным показателем: $y = x^{-9}$.
Теперь применим формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$ для $n=-9$:
$y' = (x^{-9})' = -9 \cdot x^{-9-1} = -9x^{-10}$.
Запишем результат с положительным показателем степени: $y' = -\frac{9}{x^{10}}$.
Ответ: $-\frac{9}{x^{10}}$.

6) Для нахождения производной функции $y = x^{2,4}$ используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=2,4$.
$y' = (x^{2.4})' = 2.4 \cdot x^{2.4-1} = 2.4x^{1.4}$.
Ответ: $2.4x^{1.4}$.

7) Для нахождения производной функции $y = x^{-3,1}$ используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=-3,1$.
$y' = (x^{-3.1})' = -3.1 \cdot x^{-3.1-1} = -3.1x^{-4.1}$.
Ответ: $-3.1x^{-4.1}$.

8) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[7]{x}$ представим корень в виде степени с дробным показателем: $y = x^{\frac{1}{7}}$.
Применим формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$ для $n=\frac{1}{7}$:
$y' = (x^{\frac{1}{7}})' = \frac{1}{7}x^{\frac{1}{7}-1} = \frac{1}{7}x^{\frac{1-7}{7}} = \frac{1}{7}x^{-\frac{6}{7}}$.
Представим результат обратно в виде корня: $y' = \frac{1}{7x^{\frac{6}{7}}} = \frac{1}{7\sqrt[7]{x^6}}$.
Ответ: $\frac{1}{7\sqrt[7]{x^6}}$.

9) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[9]{x^8}$ представим корень в виде степени с дробным показателем: $y = x^{\frac{8}{9}}$.
Применим формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$ для $n=\frac{8}{9}$:
$y' = (x^{\frac{8}{9}})' = \frac{8}{9}x^{\frac{8}{9}-1} = \frac{8}{9}x^{\frac{8-9}{9}} = \frac{8}{9}x^{-\frac{1}{9}}$.
Представим результат обратно в виде корня: $y' = \frac{8}{9x^{\frac{1}{9}}} = \frac{8}{9\sqrt[9]{x}}$.
Ответ: $\frac{8}{9\sqrt[9]{x}}$.

10) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^3}}$ сначала представим ее в виде степени с отрицательным дробным показателем:
$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{8}}} = x^{-\frac{3}{8}}$.
Применим формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$ для $n=-\frac{3}{8}$:
$y' = (x^{-\frac{3}{8}})' = -\frac{3}{8}x^{-\frac{3}{8}-1} = -\frac{3}{8}x^{-\frac{3+8}{8}} = -\frac{3}{8}x^{-\frac{11}{8}}$.
Представим результат обратно в виде дроби с корнем: $y' = -\frac{3}{8x^{\frac{11}{8}}} = -\frac{3}{8\sqrt[8]{x^{11}}}$.
Ответ: $-\frac{3}{8\sqrt[8]{x^{11}}}$.