Номер 284, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

284. Найдите производную функции:

1) $y = (2x - 7)^6$;

2) $y = (3x^4 + 8x)^7$;

3) $y = \frac{1}{(x^2 + x)^4}$;

4) $y = \sqrt{3x - 14}$;

5) $y = \sqrt[3]{2x^3 + 4x}$;

6) $y = \sin \frac{x}{4}$;

7) $y = \cos^3 x$;

8) $y = \sqrt{\cos 3x}$;

9) $y = \frac{\cos \frac{x}{2}}{x + 1}$;

10) $y = x^3 \sin \frac{2}{x}$.

1) $ y = (2x - 7)^6 $

Для нахождения производной данной сложной функции используем формулу $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. В нашем случае $u = 2x - 7$ и $n = 6$.

Производная внутренней функции $u' = (2x - 7)' = 2$.

Тогда производная всей функции равна:

$ y' = 6(2x - 7)^{6-1} \cdot (2x-7)' = 6(2x - 7)^5 \cdot 2 = 12(2x - 7)^5 $

Ответ: $ y' = 12(2x - 7)^5 $

2) $ y = (3x^4 + 8x)^7 $

Это сложная функция вида $y = u^7$, где $u = 3x^4 + 8x$. Применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

$ y' = 7(3x^4 + 8x)^{7-1} \cdot (3x^4 + 8x)' $

Находим производную внутренней функции:

$ (3x^4 + 8x)' = 3 \cdot 4x^3 + 8 = 12x^3 + 8 $

Подставляем обратно:

$ y' = 7(3x^4 + 8x)^6 \cdot (12x^3 + 8) $

Ответ: $ y' = 7(12x^3 + 8)(3x^4 + 8x)^6 $

3) $ y = \frac{1}{(x^2 + x)^4} $

Перепишем функцию в виде степени: $ y = (x^2 + x)^{-4} $. Это сложная функция вида $y = u^{-4}$, где $u = x^2 + x$.

$ y' = -4(x^2 + x)^{-4-1} \cdot (x^2 + x)' = -4(x^2 + x)^{-5} \cdot (2x + 1) $

Возвращаемся к дроби:

$ y' = -\frac{4(2x + 1)}{(x^2 + x)^5} $

Ответ: $ y' = -\frac{4(2x + 1)}{(x^2 + x)^5} $

4) $ y = \sqrt{3x - 14} $

Представим корень как степень: $ y = (3x - 14)^{\frac{1}{2}} $. Это сложная функция вида $y = u^{\frac{1}{2}}$, где $u = 3x - 14$.

Используем формулу $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

$ u' = (3x - 14)' = 3 $

$ y' = \frac{1}{2\sqrt{3x - 14}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x - 14}} $

Ответ: $ y' = \frac{3}{2\sqrt{3x - 14}} $

5) $ y = \sqrt[3]{2x^3 + 4x} $

Перепишем функцию в виде степени: $ y = (2x^3 + 4x)^{\frac{1}{3}} $. Это сложная функция $y = u^{\frac{1}{3}}$, где $u = 2x^3 + 4x$.

$ y' = \frac{1}{3}(2x^3 + 4x)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (2x^3 + 4x)' = \frac{1}{3}(2x^3 + 4x)^{-\frac{2}{3}} \cdot (6x^2 + 4) $

Упростим выражение:

$ y' = \frac{6x^2 + 4}{3(2x^3 + 4x)^{\frac{2}{3}}} = \frac{2(3x^2 + 2)}{3\sqrt[3]{(2x^3 + 4x)^2}} $

Ответ: $ y' = \frac{2(3x^2 + 2)}{3\sqrt[3]{(2x^3 + 4x)^2}} $

6) $ y = \sin\frac{x}{4} $

Это сложная функция вида $y = \sin(u)$, где $u = \frac{x}{4}$. Используем цепное правило $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$.

$ u' = (\frac{x}{4})' = \frac{1}{4} $

$ y' = \cos(\frac{x}{4}) \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\cos\frac{x}{4} $

Ответ: $ y' = \frac{1}{4}\cos\frac{x}{4} $

7) $ y = \cos^3 x $

Перепишем функцию как $ y = (\cos x)^3 $. Это сложная функция вида $y = u^3$, где $u = \cos x$.

$ y' = 3(\cos x)^{3-1} \cdot (\cos x)' = 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3\sin x \cos^2 x $

Ответ: $ y' = -3\sin x \cos^2 x $

8) $ y = \sqrt{\cos 3x} $

Это дважды сложная функция. Представим ее как $ y = (u)^{\frac{1}{2}} $, где $ u = \cos v $, а $ v = 3x $.

Применяем цепное правило последовательно:

$ y' = \frac{1}{2\sqrt{\cos 3x}} \cdot (\cos 3x)' $

Находим производную $ (\cos 3x)' $:

$ (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x) $

Подставляем обратно:

$ y' = \frac{1}{2\sqrt{\cos 3x}} \cdot (-3\sin 3x) = -\frac{3\sin 3x}{2\sqrt{\cos 3x}} $

Ответ: $ y' = -\frac{3\sin 3x}{2\sqrt{\cos 3x}} $

9) $ y = \frac{\cos\frac{x}{2}}{x + 1} $

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = \cos\frac{x}{2}$ и $v = x + 1$.

Находим производные $u'$ и $v'$:

$ u' = (\cos\frac{x}{2})' = -\sin\frac{x}{2} \cdot (\frac{x}{2})' = -\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} $

$ v' = (x + 1)' = 1 $

Подставляем в формулу:

$ y' = \frac{(-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2})(x + 1) - (\cos\frac{x}{2})(1)}{(x + 1)^2} = \frac{-\frac{1}{2}(x+1)\sin\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2}}{(x + 1)^2} $

Можно упростить, умножив числитель и знаменатель на 2:

$ y' = \frac{-(x+1)\sin\frac{x}{2} - 2\cos\frac{x}{2}}{2(x + 1)^2} $

Ответ: $ y' = \frac{-(x+1)\sin\frac{x}{2} - 2\cos\frac{x}{2}}{2(x + 1)^2} $

10) $ y = x^3 \sin\frac{2}{x} $

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = x^3$ и $v = \sin\frac{2}{x}$.

Находим производные $u'$ и $v'$:

$ u' = (x^3)' = 3x^2 $

$ v' = (\sin\frac{2}{x})' = \cos\frac{2}{x} \cdot (\frac{2}{x})' = \cos\frac{2}{x} \cdot (2x^{-1})' = \cos\frac{2}{x} \cdot (-2x^{-2}) = -\frac{2}{x^2}\cos\frac{2}{x} $

Подставляем в формулу:

$ y' = (3x^2)(\sin\frac{2}{x}) + (x^3)(-\frac{2}{x^2}\cos\frac{2}{x}) $

Упрощаем выражение:

$ y' = 3x^2\sin\frac{2}{x} - \frac{2x^3}{x^2}\cos\frac{2}{x} = 3x^2\sin\frac{2}{x} - 2x\cos\frac{2}{x} $

Ответ: $ y' = 3x^2\sin\frac{2}{x} - 2x\cos\frac{2}{x} $