Страница 107 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

317. Исследуйте функцию и постройте её график:

1) $f(x) = x - \sqrt{x + 1}$

2) $f(x) = \frac{x^2}{x + 1}$

3) $f(x) = x\sqrt{2 - x^2}$

1) $f(x) = x - \sqrt{x} + 1$

1. Область определения.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Область определения функции: $D(f) = [0, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
Область определения не является симметричной относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: при $x=0$, $f(0) = 0 - \sqrt{0} + 1 = 1$. Точка пересечения $(0, 1)$.
- С осью Ox: $f(x)=0 \implies x - \sqrt{x} + 1 = 0$. Пусть $t = \sqrt{x}$, $t \ge 0$. Уравнение принимает вид $t^2 - t + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Действительных корней нет. График не пересекает ось Ox.

4. Асимптоты.
- Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на $[0, +\infty)$.
- Наклонные асимптоты вида $y = kx + b$ при $x \to +\infty$:
$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x - \sqrt{x} + 1}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 - \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}) = 1$.
$b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x} + 1 - x) = \lim_{x \to +\infty} (1 - \sqrt{x}) = -\infty$.
Предел для $b$ не является конечным числом, следовательно, наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную: $f'(x) = (x - \sqrt{x} + 1)' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \implies 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0 \implies 2\sqrt{x} = 1 \implies x = \frac{1}{4}$.
Производная не определена при $x=0$ (крайняя точка области определения).
- При $x \in (0, 1/4)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1/4, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
В точке $x = 1/4$ функция имеет минимум. $f_{min} = f(1/4) = \frac{1}{4} - \sqrt{\frac{1}{4}} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4}$.
Точка минимума: $(1/4, 3/4)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Найдем вторую производную: $f''(x) = (1 - \frac{1}{2}x^{-1/2})' = - \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})x^{-3/2} = \frac{1}{4x\sqrt{x}}$.
На всей области определения $x \in (0, +\infty)$, $f''(x) > 0$. Следовательно, график функции имеет выпуклость вниз на всей области определения. Точек перегиба нет.

7. Построение графика.
На основе проведенного исследования строим график. График начинается в точке $(0, 1)$, касательная в этой точке вертикальна (т.к. $f'(x) \to -\infty$ при $x \to 0^+$). Функция убывает до точки минимума $(1/4, 3/4)$, а затем возрастает. График всегда находится выше оси Ox и является выпуклым вниз на всей области определения.

Ответ: Функция $f(x) = x - \sqrt{x} + 1$ определена при $x \ge 0$. Пересекает ось Oy в точке $(0, 1)$, ось Ox не пересекает. Убывает на промежутке $[0, 1/4]$ и возрастает на $[1/4, +\infty)$. Точка минимума $(1/4, 3/4)$. График выпуклый вниз на всей области определения. Асимптот нет. График представляет собой кривую, начинающуюся в точке $(0,1)$, опускающуюся до минимума в $(1/4, 3/4)$ и далее монотонно возрастающую до бесконечности.

2) $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$

1. Область определения.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
Область определения: $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{(-x)^2}{-x+1} = \frac{x^2}{1-x}$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: при $x=0$, $f(0) = \frac{0^2}{0+1} = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
- С осью Ox: $f(x)=0 \implies \frac{x^2}{x+1} = 0 \implies x^2=0 \implies x=0$. Точка пересечения $(0, 0)$.

4. Асимптоты.
- Вертикальная асимптота: $x = -1$, так как знаменатель обращается в ноль.
$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^2}{x+1} = -\infty$, $\lim_{x \to -1^+} \frac{x^2}{x+1} = +\infty$.
- Наклонная асимптота: Степень числителя на единицу больше степени знаменателя. Выполним деление многочленов: $f(x) = \frac{x^2}{x+1} = x - 1 + \frac{1}{x+1}$.
Наклонная асимптота $y = x - 1$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Первая производная: $f'(x) = \frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$.
Критические точки ($f'(x)=0$): $x=0$ и $x=-2$.
- При $x \in (-\infty, -2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-2, -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-1, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
Точка локального максимума: $x=-2$, $f(-2) = \frac{(-2)^2}{-2+1} = -4$. Точка $(-2, -4)$.
Точка локального минимума: $x=0$, $f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Вторая производная: $f''(x) = (\frac{x^2+2x}{(x+1)^2})' = \frac{(2x+2)(x+1)^2 - (x^2+2x) \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4} = \frac{2(x+1)^2 - 2(x^2+2x)}{(x+1)^3} = \frac{2(x^2+2x+1) - 2x^2-4x}{(x+1)^3} = \frac{2}{(x+1)^3}$.
- При $x < -1$, $f''(x) < 0$, график имеет выпуклость вверх.
- При $x > -1$, $f''(x) > 0$, график имеет выпуклость вниз.
Точек перегиба нет, так как $x=-1$ не входит в область определения.

7. Построение графика.
График состоит из двух ветвей, разделенных вертикальной асимптотой $x=-1$. Обе ветви приближаются к наклонной асимптоте $y=x-1$ на бесконечности. Левая ветвь возрастает до точки максимума $(-2, -4)$, затем убывает, уходя к $-\infty$ при приближении к $x=-1$ слева. Эта ветвь выпукла вверх. Правая ветвь приходит от $+\infty$ справа от $x=-1$, убывает до точки минимума $(0, 0)$, а затем возрастает. Эта ветвь выпукла вниз.

Ответ: Функция $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$ определена для всех $x \neq -1$. Имеет вертикальную асимптоту $x=-1$ и наклонную асимптоту $y=x-1$. Пересекает оси в точке $(0,0)$. Возрастает на $(-\infty, -2)$ и $(0, +\infty)$, убывает на $(-2, -1)$ и $(-1, 0)$. Локальный максимум в точке $(-2, -4)$, локальный минимум в точке $(0,0)$. График выпуклый вверх при $x < -1$ и выпуклый вниз при $x > -1$.

3) $f(x) = x\sqrt{2-x^2}$

1. Область определения.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2-x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 2 \implies -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.
Область определения: $D(f) = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

2. Четность и нечетность.
$f(-x) = (-x)\sqrt{2-(-x)^2} = -x\sqrt{2-x^2} = -f(x)$.
Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: при $x=0$, $f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью Ox: $f(x)=0 \implies x\sqrt{2-x^2}=0 \implies x=0$ или $2-x^2=0 \implies x=\pm\sqrt{2}$.
Точки пересечения: $(-\sqrt{2}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$.

4. Асимптоты.
Область определения — замкнутый отрезок, поэтому асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Первая производная: $f'(x) = \sqrt{2-x^2} + x \frac{-2x}{2\sqrt{2-x^2}} = \frac{2-x^2-x^2}{\sqrt{2-x^2}} = \frac{2(1-x^2)}{\sqrt{2-x^2}}$.
Критические точки ($f'(x)=0$): $1-x^2=0 \implies x=\pm 1$.
- При $x \in (-\sqrt{2}, -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (1, \sqrt{2})$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
Точка локального минимума: $x=-1$, $f(-1) = -1\sqrt{2-1} = -1$. Точка $(-1, -1)$.
Точка локального максимума: $x=1$, $f(1) = 1\sqrt{2-1} = 1$. Точка $(1, 1)$.
На концах отрезка $f(-\sqrt{2})=0$ и $f(\sqrt{2})=0$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Вторая производная: $f''(x) = (\frac{2-2x^2}{\sqrt{2-x^2}})' = \frac{-4x\sqrt{2-x^2} - (2-2x^2)\frac{-x}{\sqrt{2-x^2}}}{2-x^2} = \frac{-4x(2-x^2)+x(2-2x^2)}{(2-x^2)\sqrt{2-x^2}} = \frac{-8x+4x^3+2x-2x^3}{(2-x^2)^{3/2}} = \frac{2x^3-6x}{(2-x^2)^{3/2}} = \frac{2x(x^2-3)}{(2-x^2)^{3/2}}$.
$f''(x)=0$ при $x=0$ (так как $x^2=3$ не входит в область определения).
На $D(f)$, $x^2-3 < 0$. Знак $f''(x)$ противоположен знаку $x$.
- При $x \in (-\sqrt{2}, 0)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.
- При $x \in (0, \sqrt{2})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.
Точка $x=0$ является точкой перегиба. $f(0)=0$. Точка перегиба $(0, 0)$.

7. Построение графика.
График расположен в пределах от $x=-\sqrt{2}$ до $x=\sqrt{2}$. Он начинается в точке $(-\sqrt{2}, 0)$, убывает до точки минимума $(-1, -1)$, затем возрастает, проходя через точку перегиба $(0, 0)$, до точки максимума $(1, 1)$, и далее убывает до точки $(\sqrt{2}, 0)$. График симметричен относительно начала координат. В точках $x=\pm\sqrt{2}$ касательные к графику вертикальны, так как $f'(x) \to \infty$.

Ответ: Функция $f(x) = x\sqrt{2-x^2}$ определена на отрезке $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ и является нечетной. Пересекает оси в точках $(-\sqrt{2}, 0), (0, 0), (\sqrt{2}, 0)$. Убывает на $[-\sqrt{2}, -1]$ и $[1, \sqrt{2}]$, возрастает на $[-1, 1]$. Глобальный минимум в точке $(-1, -1)$, глобальный максимум в точке $(1, 1)$. График выпуклый вниз на $(-\sqrt{2}, 0)$ и выпуклый вверх на $(0, \sqrt{2})$. Точка перегиба $(0, 0)$. Асимптот нет.