Страница 113 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. С помощью графика функции f, изображённого на рисунке 25, постройте график функции g, обратной к функции f.

Рис. 25

а

б

в

График функции $g$, обратной к функции $f$, симметричен графику функции $f$ относительно прямой $y=x$. Это означает, что для каждой точки $(a, b)$ на графике $f$ существует соответствующая точка $(b, a)$ на графике $g$. Для построения графика обратной функции $g$ необходимо выбрать несколько характерных точек на графике $f$, поменять их координаты местами и соединить полученные точки плавной линией, учитывая поведение исходной функции (например, асимптоты).

а

На графике функции $f$ выберем следующие точки: $(-1, 0.5)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, 4)$. Также видно, что график имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$.

Для построения графика обратной функции $g$ возьмем точки с инвертированными координатами: $(0.5, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$ и $(4, 2)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ функции $f$ преобразуется в вертикальную асимптоту $x=0$ для функции $g$. Соединив новые точки плавной кривой, получим график логарифмической функции.

Ответ: Для построения графика функции $g$ необходимо отметить точки $(0.5, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$ и соединить их плавной линией, которая асимптотически приближается к оси $Oy$ при стремлении $x$ к нулю справа.

б

На графике функции $f$ выберем следующие точки: $(0, -1)$, $(1, 0)$ и $(4, 1)$. Это график функции вида $f(x) = \sqrt{x} - 1$, определенной для $x \ge 0$.

Соответствующие точки для графика обратной функции $g$ будут: $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, 4)$. Область определения функции $g$ будет $x \ge -1$. Соединив эти точки, получим ветвь параболы с вершиной в точке $(-1, 0)$.

Ответ: Для построения графика функции $g$ необходимо отметить точки $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 4)$ и соединить их плавной кривой, образуя ветвь параболы, выходящую из вершины в точке $(-1, 0)$ и идущую вверх.

в

График функции $f$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(1, 0)$.

Для построения графика обратной функции $g$, которая также является прямой, возьмем точки с инвертированными координатами: $(2, 0)$ и $(0, 1)$.

Ответ: Для построения графика функции $g$ необходимо отметить точки $(2, 0)$ и $(0, 1)$ и провести через них прямую линию.

29. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) $y = -2x + 1$;

2) $y = x^2 + 1$, если $x \le 0$.

1) Дана функция $y = -2x + 1$.

Это линейная функция, её график — прямая. Она определена и принимает значения на всем множестве действительных чисел. Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить переменную $x$ через $y$:

$y = -2x + 1$

$2x = 1 - y$

$x = \frac{1 - y}{2}$

$x = -\frac{1}{2}y + \frac{1}{2}$

Теперь, чтобы записать обратную функцию в стандартном виде, поменяем переменные $x$ и $y$ местами:

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

Для построения графиков в одной системе координат, найдем по две точки для каждой прямой. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Для прямой $y = -2x + 1$ возьмем точки: если $x=0$, то $y=1$, точка $(0; 1)$; если $x=1$, то $y=-1$, точка $(1; -1)$.

Для прямой $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ возьмем точки: если $x=1$, то $y=0$, точка $(1; 0)$; если $x=-1$, то $y=1$, точка $(-1; 1)$.

Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их, получим графики исходной и обратной функций.

Ответ: обратная функция $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

2) Дана функция $y = x^2 + 1$ при условии $x \le 0$.

График этой функции — левая ветвь параболы $y = x^2 + 1$, вершина которой находится в точке $(0; 1)$.

Найдем область определения и область значений функции. Область определения задана условием: $D(y) = (-\infty; 0]$. Так как $x \le 0$, то $x^2 \ge 0$, и $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, область значений функции: $E(y) = [1; +\infty)$.

Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = x^2 + 1$:

$x^2 = y - 1$

$x = \pm\sqrt{y - 1}$

Согласно исходному условию $x \le 0$, необходимо выбрать знак "минус" перед корнем:

$x = -\sqrt{y - 1}$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы записать уравнение обратной функции:

$y = -\sqrt{x - 1}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $x \ge 1$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной: $y \le 0$.

Для построения графиков определим ключевые точки. График $y = x^2 + 1$ при $x \le 0$ проходит через точки $(0, 1)$, $(-1, 2)$ и $(-2, 5)$. График обратной функции $y = -\sqrt{x - 1}$ является нижней ветвью параболы, ветви которой направлены вправо, с вершиной в точке $(1, 0)$ и проходит через точки $(2, -1)$ и $(5, -2)$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = -\sqrt{x - 1}$.

30. Равносильны ли уравнения:

1) $x + 8 = 17$ и $\frac{1}{9}x = 1$;

2) $x = 5$ и $x^2 = 25$;

3) $x^2 = -10x$ и $x = -10$;

4) $\sqrt{x} = -1$ и $|x| = -1$;

5) $x - 10 = x - 10$ и $\frac{x^4 + 16}{x^4 + 16} = 1$;

6) $x + 4 = x + 4$ и $\frac{x + 4}{x + 4} = 1$;

7) $x^2 + 10x + 25 = 0$ и $x + 5 = 0$;

8) $\frac{x^2 + 6x + 8}{x + 2} = 0$ и $x + 4 = 0$;

9) $x\sqrt{x + 5} = 0$ и $(x + 5)\sqrt{x} = 0$;

10) $\sqrt{x - 10} \cdot \sqrt{x + 4} = 0$ и $\sqrt{(x - 10)(x + 4)} = 0$?

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Если оба уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными.

1) $x + 8 = 17$ и $\frac{1}{9}x = 1$

Решим первое уравнение:
$x = 17 - 8$
$x = 9$

Решим второе уравнение:
$x = 1 \cdot 9$
$x = 9$

Оба уравнения имеют один и тот же корень $x = 9$. Следовательно, множества их решений совпадают.

Ответ: да, равносильны.

2) $x = 5$ и $x^2 = 25$

Первое уравнение имеет единственный корень $x = 5$.

Решим второе уравнение:
$x^2 = 25$
$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Второе уравнение имеет два корня: $5$ и $-5$. Так как множества корней ($\{5\}$ и $\{-5, 5\}$) не совпадают, уравнения не являются равносильными.

Ответ: нет, не равносильны.

3) $x^2 = -10x$ и $x = -10$

Решим первое уравнение:
$x^2 + 10x = 0$
$x(x + 10) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = -10$

Первое уравнение имеет два корня: $0$ и $-10$. Второе уравнение имеет только один корень: $-10$. Множества решений не совпадают.

Ответ: нет, не равносильны.

4) $\sqrt{x} = -1$ и $|x| = -1$

Первое уравнение $\sqrt{x} = -1$ не имеет решений в действительных числах, так как арифметический квадратный корень по определению не может быть отрицательным.

Второе уравнение $|x| = -1$ также не имеет решений, так как модуль числа по определению не может быть отрицательным.

Поскольку оба уравнения не имеют корней, множества их решений совпадают (оба являются пустыми множествами). Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

5) $x - 10 = x - 10$ и $\frac{x^4 + 16}{x^4 + 16} = 1$

Первое уравнение $x - 10 = x - 10$ является тождеством. Оно верно при любом значении $x$. Множество его решений — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Во втором уравнении $\frac{x^4 + 16}{x^4 + 16} = 1$ знаменатель $x^4 + 16$ никогда не равен нулю (так как $x^4 \ge 0$, то $x^4 + 16 \ge 16$). Поэтому на него можно сократить. В результате также получается тождество $1 = 1$, верное при любом значении $x$. Множество его решений — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Множества решений совпадают.

Ответ: да, равносильны.

6) $x + 4 = x + 4$ и $\frac{x + 4}{x + 4} = 1$

Первое уравнение $x + 4 = x + 4$ является тождеством, его решение — любое действительное число, $x \in \mathbb{R}$.

Второе уравнение $\frac{x + 4}{x + 4} = 1$ определено только для тех $x$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $x + 4 \neq 0$, или $x \neq -4$. Для всех $x \neq -4$ уравнение является верным тождеством. Таким образом, его множество решений — все действительные числа, кроме $-4$.

Множества решений не совпадают.

Ответ: нет, не равносильны.

7) $x^2 + 10x + 25 = 0$ и $x + 5 = 0$

Решим первое уравнение, свернув левую часть по формуле квадрата суммы:
$(x + 5)^2 = 0$
$x + 5 = 0$
$x = -5$

Решение второго уравнения:
$x + 5 = 0$
$x = -5$

Оба уравнения имеют единственный корень $x = -5$.

Ответ: да, равносильны.

8) $\frac{x^2 + 6x + 8}{x + 2} = 0$ и $x + 4 = 0$

Решим первое уравнение. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1) Числитель: $x^2 + 6x + 8 = 0$. По теореме Виета находим корни: $x_1 = -4$, $x_2 = -2$.
2) Знаменатель: $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Исключаем корень $x = -2$ из-за ограничения на знаменатель. Остается единственный корень $x = -4$.

Решим второе уравнение:
$x + 4 = 0$
$x = -4$

Оба уравнения имеют единственный корень $x = -4$.

Ответ: да, равносильны.

9) $x\sqrt{x+5}=0$ и $(x+5)\sqrt{x}=0$

Решим первое уравнение $x\sqrt{x+5}=0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x=0$ (входит в ОДЗ) или $\sqrt{x+5}=0 \implies x+5=0 \implies x=-5$ (входит в ОДЗ).
Корни: $\{-5, 0\}$.

Решим второе уравнение $(x+5)\sqrt{x}=0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x+5=0 \implies x=-5$ (не входит в ОДЗ) или $\sqrt{x}=0 \implies x=0$ (входит в ОДЗ).
Единственный корень: $\{0\}$.

Множества корней $\{-5, 0\}$ и $\{0\}$ не совпадают.

Ответ: нет, не равносильны.

10) $\sqrt{x-10} \cdot \sqrt{x+4} = 0$ и $\sqrt{(x-10)(x+4)} = 0$

Решим первое уравнение $\sqrt{x-10} \cdot \sqrt{x+4} = 0$.
ОДЗ: система неравенств $\begin{cases} x-10 \ge 0 \\ x+4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 10 \\ x \ge -4 \end{cases} \implies x \ge 10$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$\sqrt{x-10}=0 \implies x=10$ (входит в ОДЗ).
$\sqrt{x+4}=0 \implies x=-4$ (не входит в ОДЗ).
Единственный корень: $\{10\}$.

Решим второе уравнение $\sqrt{(x-10)(x+4)} = 0$.
ОДЗ: $(x-10)(x+4) \ge 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -4] \cup [10, \infty)$.
Возведем обе части в квадрат: $(x-10)(x+4) = 0$.
Корни: $x_1=10$ (входит в ОДЗ) и $x_2=-4$ (входит в ОДЗ).
Множество корней: $\{-4, 10\}$.

Множества корней $\{10\}$ и $\{-4, 10\}$ не совпадают из-за различия в областях допустимых значений.

Ответ: нет, не равносильны.